§33. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.

Поле стационарно, если оно не зависит явно от времени, т.е.

Уравнения Максвелла в этом случаем принимают вид:

+ связи:

В электростатике используются первое и третье уравнения, а в магнитостатике второе и четвертое.

Связь полей с потенциалами:

Задачи

1.Определить напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного шара . Объемная плотность заряда равна , радиус шара R.

Решение. Из принципа суперпозиции полей следует, что искомая напряженность поля равна разности напряженности электрического поля, создаваемого шаром без полости, и напряженности поля зарядов, заполняющих при этом полость.

Поле внутри полости

поле внутри шара (но вне полости)

поле снаружи шара

где - радиус-вектор, проведенный из центра шара к центру полости.

2. Определить коэффициенты разложения потенциала точечного заряда в интеграл Фурье.

Решение. Потенциал точечного заряда является решением уравнения

(1)

Представим и в виде разложений в интеграл Фурье:

(2)

Подставляя соотношения (2) в уравнение (1) и приравнивая в подынтегральных выражениях коэффициенты при , получим

.

3. Найти потенциал, создаваемый зарядом, распределенным в бесконечной среде по закону:

Решение. .

4. Определить потенциал точечного заряда е, находящегося в однородной анизотропной среде с заданным тензором диэлектрической проницаемости.

Решение. Предположив, что заряд расположен в начале координат, решим уравнения

Направим оси декартовой системы координат по главным осям тензора диэлектрической проницаемости. Тогда

Подставим соотношения (2) в уравнение (1):

Заменой уравнение приводится к виду

Здесь использовано свойство δ-функции:

Решение уравнения (4) имеет вид

где

§34. Приближение линейного тока

Что бы рассчитать надо брать от каждого элементарного объёмчика площадку и интегрировать по всему току. Если размеры сечения проводника много меньше его длины, либо когда точка наблюдения сильно удалена, то неоднородностью тока в сечении можно пренебречь. На языке интегралов это пренебрежение сводится к:

Это есть приближение линейного тока, т.е. ток течёт по проводнику, сечение которого стремится к нулю. Тогда для потенциала имеем:

Если имеется система токов, то формулу можно обобщить:

Задачи

1. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндрической полости цилиндрического проводника, по которому течет ток, равномерно распределенный по его сечению с плотностью j. Оси цилиндра, образующего полость, и цилиндрического проводника параллельны и находятся друг от друга на расстоянии а.

Решение. H=1/2

2. Показать, что постоянное однородное магнитное поле В можно описывать векторным потенциалом А=.

§35. Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла в среде:

Уравнения связи для однородной изотропной среды:

Будем рассматривать не магнитные материалы, т.е. .

Случай квазистационарных полей означает, что поля считаем в одних случаях стационарными, а в других случаях – не стационарными. Для квазистационарных полей:

1), а отбрасываем, т.к.

2) - оставляем как есть.

Критерий «отбрасываемости»:

Если , то . Слагаемое . В гауссовой системе единиц имеет размерность как .

Составим отношение для сравниваемых слагаемых:

Это есть критерий или условие квазистационарности. И тогда:

Рассмотрим как упрощается :

Запишем закон сохранения заряда в форме уравнения непрерывности:

,

Используем (*), тогда:

, где

Частное решение этого уравнения:

Для проводников с высокой проводимостью мала, , где - период, тогда:

Но поле может и не меняться по гармоническому закону, а может меняться как угодно, тогда - время, за которое поле меняется существенно.

Тогда

, и

Т.е. заряды быстро рассасываются. Значит для квазистационарного случая

В итоге получаем для квазистационарного случая систему уравнений Максвелла:

В квазистационарных полях есть эффекты:

1)Скин-эффект – быстропеременное поле вытесняет на поверхность проводника заряды.

2)Токи Фуко – переменное магнитное поле создаёт электрическое поле.