Краткая теория вопроса

На тело, движущееся в вязкой среде, действует сила сопротивления, величина которой зависит от размеров и формы тела, скорости его движения относительно среды и свойств самой среды. Как показал Л. Прандтль, процессы, обуславливающие появление силы сопротивления, в значительной мере определяются явлениями, происходя­щими в пограничном слое и характером вихрей. Вычисление силы сопротивления яв­ляется исключительно сложной задачей и можно лишь оценить порядок этой силы.

В общем случае полная сила сопротивления движению тела в вязкой среде складывается из двух компонент: сопротивления трения и сопротивления давления. Первое слагаемое определяется силами внутреннего трения, возникающим за счет градиента скорости в пограничном слое, второе - разностью давлений на передней и задней кром­ках обтекаемого тела и связано с турбулентным (вихревым) движением жидкости.

Стокс установил, что при небольших скоростях и размерах тел модуль силы сопротивления трения определяется формулой:

F_тр = kLV (1)

где  - динамическая вязкость среды, V - скорость движения тела, L - характерный размер тела и k - коэффициент пропорциональности, который зависит от формы тела. Для шара k = 6. Исходя из формулы (1) выражение для определения модуля силы сопро­тивления трения имеет вид:

F_тр = 6R_шV (2)

Модуль силы сопротивления давления определяется формулой:

(3)

где  - плотность среды, V - скорость движения тела, C_x - характеристический коэффициент обтекаемости тела, зависящий от формы тела, S_mid - площадь "миделя", под кото­рой понимают наибольшую площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к потоку.

Для оценки вклада той или иной силы в величину полной силы сопротивления движению в вязкой среде введено число Рейнольдса Re, которое определяется как отношение силы сопротивления давления к силе трения. Так при Re0,5 (ламинарное движение) учитывают только силу сопротивления трения. При 0,5<Re1 - учитывают

обе компоненты, а при Re>1, т.е. турбулентных (вихревых) течений, учитывают только

силу сопротивления давления.

Найдем уравнения, описывающие движение тела в вязкой среде, т.е. решим основную задачу динамики. Рассмотрим это решение на примере падения шарика в вязкой среде (см. рис.). Динамическое уравнение движения может быть записано в виде:

mg + F_с.т. + F_с.д. + F_арх. = ma (4)

В проекции на вертикальную ось Y это же уравнение записыва­ется так:

mg - F_с.т. - F_с.д. - F_арх. = ma (5)

Из трех сил лишь одна является переменной - это сила сопротивления, величина кото­рой быстро изменяется с увеличением скорости. Естественно, что с течением времени ускорение, с которым движется тело, будет уменьшаться, и наступит такой момент, когда оно станет равным нулю. Начиная с этого момента тело будет двигаться равно­мерно с постоян ной скоростью V_уст, величину которой можно найти из уравнения дви­жения при условии, что а=0.

Рис. 1

В зависимости от того, какая сила сопротивления преоб­ладает значение V_уст будет различным.

Законы движения, описывающие движение тела, можно найти, решая дифферен­циальное уравнение вида:

(6)

где