III. Уравнение стоячей волны.

Рассмотрим теперь стоячие волны, являющиеся результатом интерференции двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу. Такие волны чаще всего образуются при наложении волн, падающих на границу раздела сред и отраженных от нее. Напри­мер, если взять источник звука (динамик) и расположить его на некотором расстоянии от отражающей стены, то при подаче на ди­намик напряжения синусоидальной формы последний будет излу­чать продольные бегущие волны. Достигнув стенки, волны отража­ются и, распространяясь в обратном направлении, налагаются на волны, исходящие от непрерывно колеблющегося диффузора динами­ка. Благодаря этому, каждая точка среды между источником и стен­кой будет участвовать в двух колебаниях. Результирующее смеще­ние всех точек среды можно найти путём алгебраического сложе­ния смещений, так как они происходят вдоль одной прямой. В нашем примере отражение происходит от среды более плотной. Тогда де­формация сжатия, достигающая стенки, не может привести ее в движение, поэтому за сжатием в падающей волне будет следовать сжатие в отраженной волне, за разряжением в падающей - разря­жение в отраженной волне. Следовательно, в точке у самой гра­ницы волны суммируются в одной фазе, а так как длины обеих волн одинаковы, то и в остальных точках колебания складываются также.

Рассмотрим случай, когда отраженная волна имеет ту же амплитуду, что и падающая:

,

(6)

Результирующая волна:

(7)

Последнее уравнение является уравнением стоячей волны. Величина не зависит от времени и является ам­плитудой и зависит от координаты точки. Иными словами, амплитуды колебаний различных точек различ­ны. Точки, в которых амплитуда максимальна 2а, называются пучностями. Точки, в которых амплитуда равна нулю, называются узлами. Так как при отражении от более плотной среды гранич­ная точка в колебании не участвует, то этой точке будет соответствовать узел.

Координаты узлов можно найти из уравнения:

Тогда где n=0,1,2.

Следовательно, координаты узлов: .

Расстояние между соседними узлами .

Координаты пучностей можно найти из уравнения:

Тогда , где n = 0, 1, 2, … .

Следовательно, координаты пучностей: .

Расстояние между соседними пучностями .

Амплитуда при переходе через нулевое значение меняет знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на π. Все точки, находящиеся между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе.

Если волна распространяется на участке среды, ограниченной с двух сторон, то стоячая волна имеет узлы на обеих границах. Поэтому на этом участке образуется целое число полуволн. Когда обе границы свободны, на них образуются пучности. На таком же участке также укладывается целое число полуволн. В случае участка, ограниченного с одной стороны и свободного с другой стороны (например, в опыте Квинке, где трубка с воздухом закрыта с одной стороны), на первой границе – узел, на второй – пучность. В этом случае на участке укладывается нечетное число полуволн.