Тема 5. Расчет линейных цепей, содержащих

ОПЕРАЦИОННЫЙ УСИЛИТЕЛЬ

Идеальным операционным усилителем (ОУ) называется идеальный источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН), с бесконечно большим коэффициентом усиления k → ∞. Входные токи ОУ равны нулю.

Н а рис. 5.1 показано уловное графическое изображение идеального (а), реального (б) ОУ и его схема замещения (в).

Усилитель имеет две пары входных полюсов (1 – 0) и (2 – 0) и выходные полюса (3 – 0). Особенность ОУ состоит в том, что выходное напряжение U₃ пропорционально разности напряжений на входных зажимах U_1, U₂, а входные токи I_1вх1 и I_вх2 равны нулю

U₃ =k∙(U₂ – U₁); I_1вх1 = 0; I_вх2 = 0, (5.1)

где k – коэффициент усиления.

Уравнения (5.1) называют основными уравнениями ОУ.

Схема замещения идеального ОУ (рис. 5.1 в) представлена идеальным управляемым источником напряжения e = ƒ(U₁, U₂) = k·(U₂ – U₁). Если соединить между собой входные зажимы (2 – 0), т.е. U₂ = 0, то, как следует из выражений (5.1), ОУ ведет себя как инвертирующий усилитель т.е U₃ = –k∙U₁ – выходное напряжение отличается от входного по фазе на 180⁰. При соединении между собой зажимов (1 – 0) т.е. U₁ = 0, ОУ ведет себя как не инвертирующий усилитель U₃ = k·U₂. В связи с этим, зажимы (1 – 0) называются инвертирующими, а зажимы (2 – 0) – не инвертирующими входами. На графических изображениях ОУ инвертирующий вход обозначен знаком «–» или кружком, не инвертирующий – «+». Эти знаки не указывают на полярность соответствующих напряжений.

При анализе схем, содержащих ОУ, следует учитывать основное свойство ОУ, вытекающее из (5.1):

– при конечном значении выходного напряжения U_вых = U₃ и бесконечно большом коэффициенте усиления k разность (U_вх2 – U_вх1) должна стремится к нулю, т.е. зажимы 1 и 2 должны иметь одинаковый потенциал φ_вх1 = φ_вх2 = U_вх1 = U_вх2. Это допущение, а также учет того, что входные токи ОУ равны нулю, позволяют существенно упростить анализ цепей с ОУ.

В некоторых случаях один из входов ОУ бывает соединен с базисным узлом, например U₂ = 0. Тогда U₃ = – k∙U₁ и при k = ∞ U₁ = 0.

Расчет цепей с ОУ можно проводить любым методом анализа, однако результаты расчета с учетом сформулированного свойства ОУ получаются проще при использовании метода узловых напряжений.

Рассмотрим методику формирования узловых уравнений цепи, содержащей ОУ, при решении конкретной задачи.

П ример 5.1. Найти операторный коэффициент передачи по напряжению цепи, схема которой изображена на рис. 5.2 а.

Решение. Задачу решим методом узловых напряжений. Для этого включим на входе цепи идеальный источник тока J, пронумеруем независимые узлы и заменим изображение ОУ схемой замещения. Полученная схема цепи изображена на рис. 5.2 б.

Между четвертым и базисным узлами включен идеальный источник напряжения e = U₄₄. Поэтому узел 4 является зависимым и для него уравнение по первому закону Кирхгофа не составляем. Однако для этого узла необходимо использовать основное уравнение ОУ (5.1), которое для схемы на рис. 5.2 б имеет вид:

U₄₄ = k·(U₃₃ – U₂₂) или –k·U₂₂ + k·U₃₃ – U₄₄ = 0. (5.2)

Запишем для схемы рис. 5.2 б систему уравнений в матричной форме

. (5.3)

Из уравнения (5.2) (четвертое в системе уравнений (5.3)) следует, что при k = ∞, U₂₂ = U₃₃. Поэтому в матрице проводимостей (5.3) необходимо сложить элементы второго и третьего столбцов и оставить их сумму, убрать одну переменную, например U₃₃, и четвертое уравнение как зависимое. В результате этих преобразований получим систему уравнений в окончательном виде

(5.4)

Решая систему уравнений относительно U₁₁ и U₄₄, получим операторный коэффициент передачи по напряжению

.

На основании решенного примера можно сформулировать методику составления системы уравнений для цепи, содержащей идеальный ОУ методом узловых напряжений.

1. Подключить к входу цепи источник сигнала в виде идеального источника напряжения или тока.

2. Пронумеровать узлы схемы, в т.ч. входы и выход ОУ. За базисный узел всей схемы принять базисный узел ОУ. Можно не прибегать к схеме замещения ОУ, а работать с исходной схемой цепи.

3. Записать уравнение ОУ, определяющее выходное напряжение ОУ, с учетом пронумерованных входных и выходного полюсов ОУ.

4. Записать систему уравнений в матричной форме непосредственно по схеме цепи. При этом для выходного узла ОУ использовать основное уравнение ОУ.

5. Отметить номера столбцов матрицы проводимостей, соответствующих номерам входов ОУ.

6. Сложить элементы столбцов матрицы проводимостей с номерами входов ОУ и оставить вместо этих двух столбцов столбец с суммами. Вычеркнуть в матрице проводимостей строку с номером выхода ОУ. Убрать из системы одно узловое напряжение с номером входа ОУ и строку в матрице – столбце узловых токов.

7. Записать систему уравнений после проведенных преобразований.

8. Вычислить необходимые узловые напряжения схемы.

Частный случай. Если цепь содержит ОУ с одним входом (другой соединен с базисным узлом), то нужно вычеркнуть столбец и узловое напряжение, номер которых соответствует номеру входа ОУ.

Пример 5.2. Получить формулу коэффициента передачи по напряжению цепи, в которой используется типовая схема включения ОУ (рис. 5.3 а).

Р ешение. 1. Подключим к входу цепи идеальный источник тока J. Пронумеруем узлы. Как рекомендовалось ранее, не будем заменять изображение ОУ схемой замещения. Выполнение этого пункта показано на рис. 5.3 б.

2. Запишем основное уравнение ОУ для схемы на рис. 5.3 б

U₃₃ = –k·U₁₁ или k·U₁₁ + U₃₃ = 0. (5.5)

3. Составим систему уравнений в матричной форме для цепи на рис. 5.3 б (5.6). При этом нужно помнить, что выходная цепь ОУ представлена идеальным источником напряжения, подключенным к третьему узлу. Для этого узла уравнение по первому закону Кирхгофа не составляют, а используют уравнение ОУ (5.5)

. (5.6)

4. Из уравнения (5.5) видно, что при k = ∞ U₂₂ = 0. Поэтому в матрице проводимостей нужно вычеркнуть второй столбец и третью строку. Вычеркнуть переменную U₂₂ и третью строку в матрице токов. После проведенных преобразований получиться система уравнений в следующем виде:

. (5.7)

Коэффициент передачи по напряжению цепи равен

. (5.8)

Решая систему уравнений (5.7) и подставляя узловые напряжения в (5.8), получим

. (5.9)

Данная схема цепи с ОУ является типовой. Она обладает важным свойством:

при k = ∞ коэффициент передачи цепи определяется соотношением между сопротивлениями Z₁ и Z₂ двухполюсников, включенных с ОУ, и не зависит от схемы ОУ.

Знак минус показывает, что входной сигнал в схеме меняет фазу на 180⁰.

В заключении рассмотрим схему узкополосного RC-фильтра, содержащего два ОУ и двойной Т-образный RC-мост, включенный в цепь обратной связи.

Пример 5.3. Составить систему уравнений электрического равновесия для расчета коэффициента передачи по напряжению электрического фильтра, схема которого изображена на рис. 5.4.

Решение. Электрический фильтр построен на базе двух ОУ – DA1 и DA2. Включим на входе фильтра источник тока и пронумеруем независимые узлы, как показано на рис. 5.5.

С учетом номеров узлов основные уравнения ОУ имеют вид

U₇₇ = k·(U₃₃ – U₇₇) – для DA1,

U₆₆ = k·(U₅₅ – U₆₆) – для DA2

или

–k·U₃₃ + (k + 1)U₇₇ = 0

–k·U₅₅ + (k + 1)U₆₆ = 0. (5.10)

З апишем уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов 1, 2, 3, 4, 5, а для узлов 6 и 7 используем уравнения ОУ (5.10). Полученную систему уравнений представим в матричной форме (5.11)

Учитывая, что коэффициент усиления ОУ k = ∞, из уравнений (5.10) получим: U₃₃ = U₇₇, U₅₅ = U₆₆. Эти условия формально приводят в матрице прово- димостей к сложению 3 и 7, 5 и 6 столбцов, и вычеркиванию 6 и 7 строк.

После преобразований система уравнений (5.11) примет окончательный вид:

. (5.12)

Система (5.12) позволяет определить напряжения U₁₁ и U₇₇ и операторный коэффициент передачи по напряжению K_U(p) = U₇₇/U₁₁.