Тема 8. Расчет активных цепей

Активной цепью называется цепь, которая содержит хотя бы один зависимый источник (ИНУН, ИНУТ, ИТУН, ИТУТ). Такие цепи, как и пассивные, можно рассчитывать известными методами анализа, например, методами контурных токов или узловых напряжений. Особенность расчета состоит в том, что параметры зависимых источников (ЭДС или ток) должны быть выражены через выбранные переменные – контурные токи или узловые напряжения. Рассмотрим методику расчета активной цепи этими методами.

8.1. Метод контурных токов

Пример 8.1. Составить систему уравнений для заданной схемы (рис. 8.1) методом контурных токов.

Решение: В схеме имеется зависимый источник тока J = α·i₄ , ток которого зависит от тока i₄ (- безразмерный параметр). Для упрощения решения задачи можно параллельную схему источника (Z₂ - J) преобразовать в последовательную схему (Z₂ - E₂), как показано на рис. 8.2, где E₂= α·i₄·Z₂.

В схеме два независимых контура. Выберем произвольно положительные направления контурных токов I₁₁ и I₂₂ и покажем их стрелками (см. рис. 8.2).

Прежде всего, параметры зависимых источников нужно выразить через контурные токи. Ток i₄ равен контурному току I₂₂, тогда ЭДС источника E₂ равна E₂ = α·i₄·Z₂ = α·I₂₂·Z₂.

Теперь можно составить систему уравнений методом контурных токов.

В матричной форме эта система имеет вид: [Z_П]·[I] = [E] или

(8.1)

В правой части системы уравнений матрица сопротивлений [Z_П] определяется только сопротивлениями элементов пассивной части схемы (не учтены параметры зависимых источников). Она всегда симметричная относительно главной диагонали.

В правой части системы уравнений матрица контурных напряжений [E] содержит ЭДС зависимого источника, пропорциональную контурному току I₂₂. Поэтому параметр зависимого источника α·Z₂ нужно перенести в левую часть системы с обратным знаком в матрицу сопротивлений [Z_П], во второй столбец. После этого матрица контурных ЭДС [E] = [E_нез] будет содержать только ЭДС независимых источников. В результате этого преобразования система уравнений примет вид

[Z]·[I] = [E_нез]

. (8.2)

Полная матрица сопротивлений [Z] учитывает параметры зависимых источников и, как правило, несимметрична относительно главной диагонали

. (8.3)

На основании рассмотренного примера можно сформулировать методику составления системы уравнения цепи, содержащей зависимые источники, методом контурных токов.

1. Преобразовать источники тока в источники ЭДС и выбрать независимые контурные токи: E₂ = α·i₄·Z_2.

2. Выразить параметры зависимых источников через контурные токи:

E₂ = α·I₂₂·Z₂,

3. Записать систему уравнений в матричной форме в виде (8.1). Матрица сопротивлений [Z_П] должна быть симметричной

.

4. Перенести из матрицы контурных ЭДС [E] в матрицу сопротивлений [Z_П] параметры зависимых источников с обратным знаком. В результате в полную матрицу сопротивлений [Z] войдут параметры зависимых источников

.

5. Записать систему контурных уравнений активной цепи [Z]∙[I] = [E_нез]:

.

Решим следующую задачу, пользуясь сформулированной методикой.

Пример 8.2. Записать систему контурных уравнений и матрицу сопротивлений для схемы цепи ( рис. 8.3) методом контурных токов. E₂ = k·U_R5,

E₃ = r·I_R2.

Решение. 1. В схеме два зависимых источника напряжения E₂, E₃ и три независимых контура. На рис. 8.3 контурные токи показаны стрелками.

2. Выразим напряжения зависимых источников через контурные токи

U_R5 = R₅·I₃₃; I_R2 = I₁₁ – I₂₂;

E₂ = k∙R₅∙I₃₃; E₃ = r·( I₁₁ – I₂₂).

3. Запишем систему уравнений в матричной форме

. (8.4)

4. Проанализируем матрицу контурных ЭДС [E] и определим, какие коэффициенты с обратным знаком и куда в матрицу сопротивлений [Z_П] нужно перенести:

из первой строки коэффициент (-k·R₅) – в первую строку третьего столбца;

из второй строки коэффициент ( -r) – во вторую строку первого и второго столбца;

из третьей строки коэффициент (k·R₅) – в третью строку третьего столбца.

Система уравнений примет окончательный вид

(8.5)

5. Выпишем полную матрицу сопротивлений

. (8.6)

Полная матрица сопротивлений (8.6) отличается от матрицы сопротивлений пассивной части схемы тем, что она не симметрична относительно главной диагонали.