8.2. Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений дуален методу контурных токов, поэтому можно сразу записать правила составления системы уравнений активной цепи на основе принципа дуальности [Y_П]·[U] = [J]. (8.7)

1. Преобразовать источники ЭДС в источники тока и пронумеровать независимые узлы схемы.

2. Выразить параметры зависимых источников через узловые напряжения U_kk.

3. Записать систему уравнений в матричной форме в виде (8.7). Матрица проводимостей пассивной части схемы [Y_П] должна быть симметричная.

4. Преобразовать систему уравнений. Перенести параметры зависимых источников из правой части системы в матрицу проводимостей [Y_П] с обратным знаком.

5. Записать систему узловых уравнений активной цепи в виде

[Y]∙[U] = [J_нез]. (8.8)

6 . При необходимости выписать полную матрицу проводимостей [Y].

Пример 8.3. Составить систему уравнений в матричной форме [Y]∙[U] = [J_нез] методом узловых напряжений для схемы (рис. 8.4). Определить коэффициент передачи по напряжению K_U. Схема содержит зависимые источники: E₂= r·I_R1, J₁ = β·I_R5.

Решение. 1. Составим схему замещения. Преобразуем участок схемы «источник ЭДС E₂ и резистор R₄» в участок «источник тока J₂ = r·I_R1/R₄ и резистор R₄» (см. рис. 8.5). Пронумеруем независимые узлы схемы.

2. Выразим параметры зависимых источников через узловые напряжения.

I_R1 = (U₁₁ – E₁)·g₁, I_R5 = (U₃₃ – U₄₄)·g₅, где g = 1/R.

J₂ = r (U₁₁ – E₁)·g_{1 ∙}g₄, J₁ = β·(U₃₃ – U₄₄)·g₅. (8.9)

3. Запишем систему уравнений в матричной форме в виде [Y_П]·[U] = [J].

4. Подставим в матрицу-столбец узловых токов [J] токи зависимых источников (8.9)

.

Эту матрицу для наглядности можно представить в виде суммы двух матриц – независимых и зависимых источников тока

,

где ;

Матрица зависимых источников тока представлена произведением матрицы проводимостей параметров зависимых источников и матрицы узловых напряжений

5. Запишем полную матрицу проводимостей в виде разности двух матриц пассивной и активной частей схемы [Y] = ([Y_П] – [Y_А])

.(8.10)

6. Запишем полную систему уравнений в матричной форме

Коэффициент передачи по напряжению нужно искать в виде K_U =U₄₄ / E.

Таким образом, требуется решить систему уравнений относительно U₄₄.

8.3. Выводы

На основании рассмотренных примеров можно сделать вывод о том, что при расчете активных цепей методами контурных токов и узловых напряжений требуется проводить преобразование систем уравнений электрического равновесия. Преобразование сводится к переносу параметров зависимых источников из правой части уравнений в левую.

Тема 9. Пример расчета частотных и переходных характеристик электронного устройства

В этом параграфе рассмотрим пример полного расчета частотных и переходной характеристики электронного устройства – избирательного усилителя мощности. Решение такой задачи потребует знания вопросов, изложенных в этом учебном пособии.

Эквивалентная схема усилителя для переменной составляющей изображена на рис. 9.1. Усилитель содержит предварительный избирательный усилитель на ОУ DA и усилитель мощности на транзисторе V1 по схеме с общим коллектором. Предварительный усилитель формирует избирательную частотную характеристику. Избирательность фильтра без колебательного RLC – контура достигается за счет положительной обратной связи через элементы R₃, C₁, R₂, C₂. Резистор R₁ ограничивает ток источника сигнала на высоких частотах (при ω → ∞). Эти же элементы определяют квазирезонансную частоту ω₀. Цепь отрицательной обратной связи R₅, R₄ позволяет регулировать затухание (коэффициент усиления) и, следовательно, полосу пропускания при неизменной частоте ω₀.

У силитель на транзисторе, включенном по схеме с общим коллектором, называют эмиттерным повторителем. У него коэффициент передачи по напряжению равен ~1, а по току – >1. Частотная характеристика его равномерная в полосе пропускания предварительного усилителя.

Пример 9. Провести расчет передаточных частотных характеристик K_U(jω) и переходной характеристики выходного напряжения H_U(t) узкополосного усилителя мощности, определить квазирезонансную частоту ω₀, коэффициент усиления K(ω₀), полосу пропускания S, частоту собственных колебаний ω_св.

R1 = 910 Ом ; R2 = 12 кОм; R3 = 4 кОм; R4 = 1 кОм; R5 = 10 кОм;

R6 = 100 Ом; R7 = 1 кОм; R8 = 100 Ом; C₁ = C₂ =100 пФ;

параметры транзистора V1: R_Б = 200 Ом; R_Э = 40 Ом; R_К = 10 кОм;

α = 0.99; операционный усилитель DA идеальный – k = ∞.

Методические рекомендации: Решение задачи целесообразно провести в следующей последовательности:

1) нарисовать схему замещения усилителя для переменного тока;

2) выбрать метод расчета и составить систему уравнений;

3) получить выражения операторного коэффициента передачи по напряжению и операторной переходной характеристики выходного напряжения;

4) записать выражения АЧХ и ФЧХ;

5) сделать численный расчет частотных характеристик – АЧХ, ФЧХ, определить квазирезонансную частоту ω₀ и полосу пропускания S;

6) вывести формулу переходной характеристики выходного напряжения;

7) сделать численный расчет переходной характеристики, определить частоту собственных колебаний ω_св.

Решение. Задачу будем решать по пунктам, предложенным в задании.

1. Для составления схемы замещения усилителя нужно ОУ и транзистор представить своими схемами замещения. К входным полюсам усилителя подключить источник сигнала, например, источник ЭДС E₁(t).

Операционный усилитель представим зависимым источником напряжения E₂, управляемым входным напряжением ОУ (см. тему 4).

Транзистор V1 заменим Т-образной схемой замещения с зависимым источником тока J, управляемым током эммитера I_Э : J = α·I_Э.

Таким образом, получилась схема замещения усилителя, изображенная на рис. 9.2. Схемы ОУ и V1 выделены пунктирными линиями.

2 . Для выбора метода расчета проведем топологический анализ схемы (см. тему 2). Прономеруем узлы и подсчитаем количество ветвей p = 15, узлов g = 8 и источников тока N_ИТ = 1. Определим количество независимых уравнений по первому и второму законам Кирхгофа: n₁ = g – 1 = 7, n₁₁ = p – g – 1 + 1 = 7.

Так как число уравнений оказалось одинаковым, то можно выбрать либо метод контурных токов (см. тему 3), либо метод узловых напряжений (см. тему 4). Однако, между четвертым и базисным узлами включен идеальный источник ЭДС. Поэтому число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа уменьшится на единицу n₁ = 6. Следовательно, выберем метод узловых напряжений.

Выразим напряжения зависимых источников через узловые напряжения:

E₂ = U₄₄ = k·(U₂₂ - U₃₃), k·(U₂₂ - U₃₃) - U₄₄ = 0, J = α·I_Э = α·g_Э·(U₇₇ – U₆₆), (9.1)

где g_Э = 1/R_Э.

Запишем систему узловых уравнений в матричной форме [Y]·[U] = [J], где

, . (9.2)

Эта система уравнений требует преобразования:

а) из формул (9.1) видно, что при k = ∞ U₂₂ – U₃₃ = 0, т.е. U₂₂ = U₃₃, поэтому нужно в [Y]– матрице второй и третий столбец сложить и оставить сумму, а третью строку вычеркнуть; в [U]– и [J]– матрицах вычеркнуть третьи строки;

б) коэффициенты (α·g_Э) в шестой строке [J]– матрицы перенести с обратным знаком в шестую строку шестого и седьмого столбцов [Y]– матрицы.

После преобразования система уравнений (9.2) примет вид

,

, . (9.3)

Подставим в (9.3) численные значения параметров элементов. Получится система, которую нужно решать

. (9.4)

Операторный коэффициент передачи по напряжению (см. темы 6, 7) будем определять решением системы уравнений (9.4) относительно U₇₇(p)

K_U(p) = U₇₇(p)/E_1.

Э то можно сделать с помощью вычислительной программы, например, «Mathcad 2000». Ниже приведено решение системы (9.4) по этой программе (копия окна из программы «Mathcad 2000»).

Выпишем нужное нам значение узлового напряжения

.

Коэффициент передачи по напряжению равен

. (9.5)

Операторное выражение переходной характеристики выходного напряжения (см. тему 6) определим с помощью K_U(p) при E₁ = 1/p

. (9.6)

4. Для получения выражений АЧХ и ФЧХ нужно сделать замену переменной p = jω в K_U(p) и записать K_U(jω) в показательной форме

K_U(jω) = K_U(ω)·e^jφ(ω).

,

где – аргумент K_U(jω).

Выражение АЧХ . (9.7)

Аргумент числителя φ_числ(ω) = π /2 при любых значениях ω.

Аргумент знаменателя φ_знам(ω) нужно определять для двух областей частот, которые определяются по знаку действительной части знаменателя

(1.12·10¹³ – ω²):

при ω ≤ 3.35·10⁶, φ_знам(ω) = arctg[3.33·10⁵·ω /(1.12·10¹³ – ω²)],

при ω > 3.35·10⁶, φ_знам(ω) = π + arctg[3.33·10⁵·ω /(1.12·10¹³ – ω²)].

Таким образом, выражение ФЧХ определяется двумя формулами (9.8):

а) ω ≤ 3.35·10⁶ φ(ω) = π /2– arctg[3.33·10⁵·ω /(1.12·10¹³ – ω²)], (9.8)

б) ω > 3.35·10⁶ φ(ω) = –π /2– arctg[3.33·10⁵·ω /(1.12·10¹³ – ω²)].

5. Численный расчет проведем по программе «Mathcad 2000». Перед численным расчетом нужно оценить диапазон частот, в пределах которого будет проведен расчет. Граничные частоты оцениваются по модулю нулей и полюсов K_U(p) (9.5).

Функция (9.5) имеет один ноль p_o = 0. Полюсы определим из уравнения

(p² + 3.33·10⁵·p + 1.12·10¹³) = 0, p_*1,2 = – 1.7·10⁵ ± j 3.34·10⁶, |p_*1| ≈ 3·10⁶ рад/с.

Итак, границы диапазона частот можно принять следующими (вблизи полюса):

ω_min < |p_*|, например, ω_min =10⁶, ω_max > |p_*|, например, ω_max = 10⁷.

На рис. 9.3 изображено окно с комментариями к программе «Mathcad 2000» по расчету АЧХ и ФЧХ усилителя в заданном диапазоне частот. Показана квазирезонансная частота ω_о.

По численным значениям коэффициента передачи, полученным в результате расчета, можно определить частоту ω_о, коэффициент передачи K(ω₀), и полосу пропускания S фильтра. В данном примере они равны: ω_о = 3.34·10⁶ рад/с, K(ω₀) = 76, S = 0.334·10⁶ рад/с.

По этим параметрам можно определить добротность фильтра

Q = ω_о / S = 10.

6. Формулу переходной характеристики H(t) (см. тему 7) можно определить по операторной переходной функции H(p) (9.6) по формулам (7.10, 7.11) теоремы разложения (см. тему 7) для случая, когда операторная функция имеет комплексно-сопряженные полюсы.

После всех предварительных вычислений получим формулу переходной характеристики

Д ля численного расчета характеристики нужно определить временной интервал t = 0 ÷ t_max. Максимальное значение t_max определяется по формуле (7.21) t_max = 3 /| α | = 3 / 166500 = 1.8·10^-5 с. Примем t_max = 10^–5 с.

На рис. 9.4 показано окно с комментариями к программе «Mathcad 2000» по расчету переходной характеристики.

Частота собственных колебаний равна мнимой части комплексных полюсов операторной функции ω_св.= 3.34·10⁶ рад/с.

На этом можно считать, что расчет усилителя завершен.

Выводы

Избирательный усилитель мощности на квазирезонансной частоте

f₀ = ω₀ / 2π = 531.6 кГц имеет коэффициент передачи по напряжению K(f₀) = 76. Полоса пропускания составляет S = 0.334·10⁶ / 2π = 53,2 кГц. Частота собственных колебаний совпадает с квазирезонансной частотой f_св = f₀.

ДОМАШНИЕ ЗАДАЧИ

Т Е М А 1

З адание 1. 1.1. Методом последовательных эквивалентных преобразований представить электрическую цепь (рис.1.10 а) эквивалентной схемой (рис. 1.11 б) в виде источника ЭДС и сопротивления и определить их параметры E_экв, R_экв.

1.2. Вычислить разность потенциалов (напряжение U_аб) между зажимами «а - б» в схемах, изображенных на рис. 1.11, а, б (см. свой вариант задания).