- •В.А. Михайлов
- •Рекомендовано к изданию Учебно-методическим центром кгту
- •Тема 1. Преобразование электрических схем.
- •1. Последовательное соединение элементов
- •2. Параллельное соединение элементов
- •3. Преобразование схем источников электрической энергии
- •4. Смешанное соединение элементов
- •5. Неразветвленная цепь
- •6. Эквивалентные преобразования сложных схем
- •Тема 2. Расчет линейных цепей с помощью законов кирхгофа. Метод токов ветвей
- •2.1. Законы Кирхгофа
- •2.2. Метод токов ветвей
- •Тема 3. Расчет линейных цепей
- •Тема 4. Расчет линейных цепей методом узловых
- •Тема 5. Расчет линейных цепей, содержащих
- •Тема 6. Линейные цепи при гармоническом
- •6.1. Расчет мгновенного значения напряжения или тока
- •6.2. Вывод формулы комплексной передаточной функции
- •Где i2(jω), i1(jω) – комплексные амплитуды токов на выходе и на входе цепи;
- •6.3. Особые точки передаточной функции.
- •6.4. Вывод формул частотных характеристик функции
- •6.5. Расчет и построение частотных характеристик
- •Тема 7. Расчет переходных характеристик линейных цепей операторным методом
- •7.1. Переходные процессы в электрических цепях.
- •7.2. Переходные характеристики линейных цепей
- •7.3. Операторный метод анализа переходных процессов
- •7.4. Вычисление оригинала по заданному операторному изображению
- •7.5. Методика расчета переходных характеристик
- •7.6. Вычисление, построение и анализ переходной характеристики
- •Тема 8. Расчет активных цепей
- •8.1. Метод контурных токов
- •8.2. Метод узловых напряжений
- •8.3. Выводы
- •Тема 9. Пример расчета частотных и переходных характеристик электронного устройства
- •Вариант № 1-1. Вариант № 1-2.
- •Вариант № 1–15. Вариант № 1–16.
- •Вариант № 1–17. Вариант № 1–18.
- •Вариант № 1–19. Вариант № 1–20.
- •Вариант № 1–27. Вариант № 1–28.
- •Вариант № 2–1. Вариант № 2–2.
- •Вариант № 4–3
- •Вариант № 6–1.
- •Вариант № 6–8.
- •Вариант № 6–9.
- •Вариант № 6–11.
- •Вариант № 6–19.
- •Аудиторные занятия
- •Домашние задачи
2.2. Метод токов ветвей
Метод токов ветвей основан на непосредственном применении законов Кирхгофа. В этом методе в качестве независимых переменных, относительно которых составляется система уравнений, выбираются токи в ветвях. Определив токи, можно определить напряжения всех элементов схемы по закону Ома.
Можно сформулировать основные этапы расчета цепи методом токов ветвей при рассмотрении конкретного примера.
Пример 2.3. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 2.2. Определить токи в ветвях.
R 1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; J = 0.1 A; E = 1 В.
Решение.
1. Пронумеровать узлы, приняв один из них за базисный (рис. 2.2).
2. Отметить произвольно положительные направления токов в ветвях (рис. 2.3).
3. Провести топологический анализ схемы: число узлов g = 4, число ветвей p = 6, число источников тока Nит = 1.
4. Подсчитать число независимых уравнений по законам Кирхгофа:
по первому закону – n1 = g – 1 = 3,
по второму закону – n11 = p – g – Nит + 1 = 2.
Таким образом, система уравнений должна состоять из 5 уравнений.
5. Записать уравнения по первому закону Кирхгофа для трех узлов:
для 1 узла i1 + i2 = – j;
для 2 узла – i2 + i3 + i4 = 0;
для 3 узла i4 + i5 = j.
6. Выбрать произвольно два независимых контура и направление обхода контуров, например, (R1 – R2 – E) и (E – R3 – R4), как показано на рис. 2.3.
7. Записать для двух контуров уравнения по второму закону Кирхгофа:
1 контур – –i1R1 + i2R2 = – E;
11 контур – i4R3 + i5R4 = E.
8. Представить систему уравнений, составленную по законам Кирхгофа, в матричной форме:
После подстановки в уравнения числовых значений и решения системы, получим выражения для токов:
i1 = – 3.3(3)·10–2 A; i2 = – 6.6(6)·10–2 A; i3 = – 0.16(6) A; i4 = 0.1 A; i5 = 0.
Отрицательный знак для токов i1, i2, i3 означает, что истинное направление токов в ветвях противоположно принятому направлению.
Полученное решение задачи требует проверки, которую проводят, как правило, по первому закону Кирхгофа. Например, проверим выполнение закона в первом узле: i1 + i2 = – j; –3.3(3)·10-2 – 6.6(6)·10-2 = –9.9(9)·10-2 = –0.1. Закон выполняется. Проверку можно провести для любого узла.
По найденным значениям токов можно по закону Ома определить напряжение на любом элементе схемы.
Пример 2.4. Определить токи в ветвях схемы, изображенной на рис. 2.4, методом токов ветвей.
R 1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; R5 = 30 Ом; J = 1 А; E = 10 В.
Решение.
1. Выберем положительные направления токов в ветвях, как показано на
рис.2.5, и проведем топологический анализ схемы.
Число ветвей p = 7, число узлов g = 4, число источников тока Nит = 1.
2. Количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа: n1 = 3, n11 = 3.
3. Пронумеруем три узла и выберем три независимых контура. На рис. 2.5 контура и направления их обхода показаны замкнутой линией со стрелкой.
4. Составим шесть уравнений по двум законам Кирхгофа:
–i1 + i2 + i3= J;
–i2 + i4+ i5 = 0;
–i3 –i4 + i6 = –J;
i2R1 + i5R4 = E;
–i2R1 + i3R2 – i4R3 = 0;
i4R3 – i5R4 + i6R5 = 0.
5. После подстановки числовых значений коэффициентов запишем уравнения в матричной форме:
[a]∙[i] = [b],
где [i] – матрица – столбец токов ветвей; [a] – матрица коэффициентов при токах; [b] – матрица – столбец активных элементов,
.
Для решения системы уравнений шестого порядка целесообразно воспользоваться соответствующей вычислительной программой, например, «Mathcad 8».
В результате решения системы, получим:
i1 = 0.163 А; i2 = 0.628 А; i3 = 0.535 А; i4 = 0.442 А; i5 = 0.186 А; i6 = –0.023 А.
Проверка решения для 1 узла: –i1 + i2 + i3 = J,
–0.163 + 0.628 + 0.535 = 1.0 –решение правильное.