- •Елементи теорії ймовірностей
- •§1. Означення ймовірності
- •Простіші властивості ймовірності
- •Класичне означення ймовірності
- •VII. Геометрична ймовірність.
- •VIII. Умовна ймовірність. Формула Байєса.
- •§2. Послідовності незалежних випробувань
- •I. Послідовність незалежних випробувань.
- •II. Схема Бернуллі
- •Iіi. Граничні теореми у схемі Бернуллі
- •§3. Випадкові величини
- •II. Дискретна випадкова величина
- •III. Неперервна випадкова величина
- •§4. Нормальний розподіл та його властивості
- •§5. Кореляція
- •V. Кореляційний момент:
- •Vі. Коефіцієнт кореляції
- •Vіі. Лінійна регресія -
- •Елементи математичної статистики
- •§1 Вибірка та її характеристики
- •Варіаційний ряд.
- •Емпірична (вибіркова) функція розподілу
- •Полігон частот
- •Гістограма
- •§2 Задача перевірки статистичних гіпотез
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про закон розподілу. Критерій Колмогорова.
- •§3. Довірчі інтервали
- •§4. Вибіркова кореляція
- •§5. Значущість вибіркового коефіцієнту кореляції
- •§6. Критерій , як критерій незалежності ознак
Елементи математичної статистики
§1 Вибірка та її характеристики
-
Вибірка.
Вибіркою об’єму називаються або:
а) разів поспіль виміряні значення випадкової величини ,
б) або один раз виміряні значення однаково розподілених випадкових величин :
.
Задача математичної статистики: за вибіркою отримати інформацію про закон розподілу випадкової величини .
-
Варіаційний ряд.
Варіаційним рядом називаються члени вибірки (варіанти), розташовані у порядку зростання:
.
Приклад.
Вибірка: . Варіаційний ряд: . Об’єм .
-
Емпірична (вибіркова) функція розподілу
,
де – кількість варіант , менших за (). Таким чином, графік утворюється відрізками горизонтальних прямих, причому зліва від функція , а при переході через варіанту відбувається стрибок вгору на величину , де - частота варіанти, тобто, кількість разів, з якою варіанта зустрічається у варіаційному ряді.
Приклад. Вибірка: . Об’єм .
Нанесемо члени варіаційного ряду на вісь . Зліва від функція дорівнює . При переході через підіймаємо горизонтальний відрізок вгору на . При переході через - ще на , а при переході через - на (оскільки. входить у варіаційний ряд три рази). І так далі. Отримуємо ступінчату функцію наступного виду:
Рис. 1
Помітимо, що при , більшому останнього значення варіаційного ряду, .
Побудована ступінчата функція дозволяє наближено судити про функцію розподілу випадкової величини .
-
Полігон частот
Полігон частот – це з’єднані відрізками точки , де - частота варіанти .
Приклад. Вибірка: . Об’єм .
Нанесемо члени варіаційного ряду на вісь . Відмітимо на площині точки . З’єднаємо їх відрізками (див. рис.2).
Отримана ламана дозволяє наближено судити про щільність розподілу випадкової величини .
Рис. 2
-
Гістограма
Щоб побудувати гістограму, розіб’ємо вісь на відрізки точками так, щоб , де - перший та останній члени варіаційного ряду. На кожному відрізку побудуємо прямокутник площею , де - кількість членів вибірки, що потрапляють у відрізок (таким чином, висота прямокутника дорівнює ). При цьому треба дивитися, щоб точки не співпадали з варіантами .
Приклад. Вибірка: . Об’єм .
Варіаційний ряд: .
Візьмемо
У відрізок потрапляє одне число , , у відрізок - одне число , , у відрізок - два числа , але зустрічається у вибірці три рази, тому , у відрізок - два числа , . Оскільки довжина кожного відрізка дорівнює одиниці, то будуємо прямокутники висотою . Гістограма набуває вигляду, зображеного на рис.3.
Рис.3
Отримана ступінчата фігура дозволяє наближено судити про щільність розподілу випадкової величини .
-
Вибіркове (емпіричне) середнє
.
Приклад. Вибірка: . Об’єм .
Варіаційний ряд: . Тоді
.
Дозволяє наближено судити про математичне сподівання випадкової величини .
-
Вибіркова (емпірична) дисперсія
.
Приклад. Вибірка: . Об’єм .
Варіаційний ряд: . Тоді
Дозволяє наближено судити про дисперсію випадкової величини .
Величина - вибіркове (емпіричне) середнє квадратичне відхилення. В нашому прикладі .
-
Незміщена вибіркова дисперсія
В нашому прикладі Зрозуміло, що .
Дозволяє наближено судити про дисперсію випадкової величини .
Величина - незміщене вибіркове (емпіричне) середнє квадратичне відхилення.. В нашому прикладі .