- •Елементи теорії ймовірностей
- •§1. Означення ймовірності
- •Простіші властивості ймовірності
- •Класичне означення ймовірності
- •VII. Геометрична ймовірність.
- •VIII. Умовна ймовірність. Формула Байєса.
- •§2. Послідовності незалежних випробувань
- •I. Послідовність незалежних випробувань.
- •II. Схема Бернуллі
- •Iіi. Граничні теореми у схемі Бернуллі
- •§3. Випадкові величини
- •II. Дискретна випадкова величина
- •III. Неперервна випадкова величина
- •§4. Нормальний розподіл та його властивості
- •§5. Кореляція
- •V. Кореляційний момент:
- •Vі. Коефіцієнт кореляції
- •Vіі. Лінійна регресія -
- •Елементи математичної статистики
- •§1 Вибірка та її характеристики
- •Варіаційний ряд.
- •Емпірична (вибіркова) функція розподілу
- •Полігон частот
- •Гістограма
- •§2 Задача перевірки статистичних гіпотез
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про закон розподілу. Критерій Колмогорова.
- •§3. Довірчі інтервали
- •§4. Вибіркова кореляція
- •§5. Значущість вибіркового коефіцієнту кореляції
- •§6. Критерій , як критерій незалежності ознак
Iіi. Граничні теореми у схемі Бернуллі
Обчислення за формулою (3) значно ускладнюються, коли кількість випробувань є великим. Також важко підсумовувати ймовірності виду (3). Наприклад, для знаходження ймовірності потрапляння кількості успіхів у певний проміжок треба додавати вирази типу (3) для всіх значень з цього проміжку:
Ускладнення виникають також під час обчислень з малими або . В усіх цих випадках можуть допомогти так звані граничні теореми, які містять асимптотичні формули при .
Теорема Пуассона. Якщо ймовірність коли так, що , то
при будь-якому сталому , .
Доведення. Позначимо . Тоді
коли , оскільки за умови теореми . Теорему доведено.
З теореми випливає, що для великих та малих можна користуватися наближеною формулою
, (4)
де , а .
Зауваження. Числа при деяких значеннях параметрів та , важливих для застосувань, можна знайти по таблицях (див. Додаток). Набір вказаних чисел складає так званий розподіл Пуассона (див. §3, п.ІІ, пр.2).
Помилку наближеної формули Пуассона можна оцінити, як
.
Тут В – це довільний набір з чисел 0, 1, 2, … .
Якщо малим буде значення (тобто для великих ), то формулою можна користуватися для наближеного обчислення кількості невдач.
Коли обидва параметри та помітно відрізняються від нуля, можна користуватися теоремами Муавра-Лапласа. Розглянемо функцію Лапласа (інтеграл імовірності). Позначимо
,
.
(Значення функції Лапласа можна знайти по таблицях, див. Додаток.)
Зауваження. Іноді замість розглядають функцію Лапласа у вигляді
.
Її значення також можна знайти по таблицях, (див. Додаток). Функції пов’язані співвідношенням
.
В англомовних книжках розглядається так звана функція помилки (error function) у вигляді
.
Вона пов’язана з співвідношенням
.
Властивості функції Лапласа.
1) , причому для застосувань значення приймаються рівними 0,5 вже починаючи з .
2) Функція Лапласа є непарною, тобто . Це допомагає обчислювати значення функції для від’ємних аргументів.
Локальна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність , , є сталою, величина
є рівномірно обмеженою по та :
,
то справджується асимптотична рівність
,
коли , де нескінченно мала задовольняє нерівність , де С > 0 – стала величина.
З теореми випливає наближена рівність
, (5)
яка дає непогане наближення для випадку, коли . Крім
того, та не повинні значно відрізнятися одне від одного, наприклад, для
наближення буде дуже поганим.
Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність , , є сталою, то при ,
,
рівномірно по та ().
З теореми випливає наближена рівність
,
яка також дає непогане наближення для випадку, коли .
За допомогою заміни змінних попередня формула легко перетворюється на:
. (6)
Приклади. 1) Передається повідомлення з 500 знаків. Імовірність помилки під час передачі кожного знаку дорівнює 0,01. Вважаючи, що спотворення знаків виникає незалежно від попередніх, знайти ймовірність того, що:
а) у повідомленні буде не більше 2 помилок,
б) у повідомленні буде не менше 3 помилок.
Розв’язання. Маємо
а) Треба обчислити ймовірність
Оскільки велике, а мале, можна застосувати формулу Пуассона (4):
,
,
.
За таблицею розподілу Пуассона (див. Додаток),
,
,
.
Звідси
.
б) Помітимо, що подія «не менше 3 помилок» () протилежна події «не більше 2 помилок» (), яка розглядалася у п.а). Тому
2) Монету підкидають 1600 разів.
а) Знайти ймовірність того, що герб випаде рівно 800 разів.
Розв’язання. Маємо
Бачимо, що , можливо застосувати локальну формулу Муавра-Лапласа (5).
Треба обчислити ймовірність , тобто . Оскільки , то . Звідси
Тому
.
б) Знайти ймовірність того, що герб випаде не менше ніж 750 та не більше ніж 850 разів.
Розв’язання. Оскільки , можливо застосувати інтегральну формулу Муавра-Лапласа (6).
за непарністю функції Лапласа. За таблицею значень функції Лапласа (див. Додаток), , тому
.
Як бачимо, ймовірність отримати конкретне значення у цьому випадку є дуже малою, а ймовірність отримати будь-яке значення з певного інтервалу, що охоплює це конкретне значення – дуже великою.