- •Елементи теорії ймовірностей
- •§1. Означення ймовірності
- •Простіші властивості ймовірності
- •Класичне означення ймовірності
- •VII. Геометрична ймовірність.
- •VIII. Умовна ймовірність. Формула Байєса.
- •§2. Послідовності незалежних випробувань
- •I. Послідовність незалежних випробувань.
- •II. Схема Бернуллі
- •Iіi. Граничні теореми у схемі Бернуллі
- •§3. Випадкові величини
- •II. Дискретна випадкова величина
- •III. Неперервна випадкова величина
- •§4. Нормальний розподіл та його властивості
- •§5. Кореляція
- •V. Кореляційний момент:
- •Vі. Коефіцієнт кореляції
- •Vіі. Лінійна регресія -
- •Елементи математичної статистики
- •§1 Вибірка та її характеристики
- •Варіаційний ряд.
- •Емпірична (вибіркова) функція розподілу
- •Полігон частот
- •Гістограма
- •§2 Задача перевірки статистичних гіпотез
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про закон розподілу. Критерій Колмогорова.
- •§3. Довірчі інтервали
- •§4. Вибіркова кореляція
- •§5. Значущість вибіркового коефіцієнту кореляції
- •§6. Критерій , як критерій незалежності ознак
-
Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
а) Висуваємо основну гіпотезу : дисперсія нормально розподіленої випадкової величини дорівнює даному числу (). Альтернативна гіпотеза : . Застосовуємо критерій Пірсона. Обчислюємо за вибіркою незміщену дисперсію . Позначимо
.
Виберемо значення . Тоді
якщо , то гіпотеза відхиляється на рівні значущості ;
якщо , то гіпотеза приймається.
При цьому
.
Тут через позначено так звану -границю розподілу Пірсона («хі-квадрат») з степенями вільності. Значення її можна знайти за таблицею (див. Додаток).
б) Висуваємо : . Нехай : (одностороння альтернатива).
Виберемо значення . Тоді
якщо , то гіпотеза відхиляється на рівні значущості ;
якщо , то гіпотеза приймається.
При цьому
.
Приклад. Вибірка: . Об’єм .
Варіаційний ряд: . Висуваємо гіпотезу , що відповідна випадкова величина розподілена нормально з параметром . За альтернативну гіпотезу візьмемо припущення . Таким чином, . Відомо , що (см. вище) Обчислимо . Виберемо рівень значущості . Порівняємо обчислене відхилення та знайдену за таблицею розподілу величиною. Маємо
.
Гіпотеза приймається.
-
Гіпотеза про закон розподілу. Критерій .
Припустимо, що маємо вибірку об’єму . Закон розподілу невідомий. Висувається гіпотеза : функцією розподілу є дана функція . Треба порівняти її та побудовану за вибіркою емпіричну функцію розподілу і за величиною відхилення зробити висновок чи треба приймати цю гіпотезу.
Розіб’ємо числову пряму на відрізків точками
так, щоб , де - перший та останній члени варіаційного ряду. Обчислимо ймовірності потрапляння випадкової величини в кожен відрізок за гіпотетичним законом розподілу : і порівняємо їх з частотою потрапляння в ці відрізки варіант : - кількість варіант, що лежать на відрізку . Для цього обчислимо відхилення
.
Тоді якщо , то гіпотеза відхиляється на рівні значущості ;
якщо , то гіпотеза приймається. При цьому
.
Приклад. Вибірка: . Об’єм .
Варіаційний ряд: .
Висуваємо гіпотезу , що відповідна випадкова величина розподілена нормально з параметрами . Візьмемо як при побудові гістограми У відрізок потрапляє одне число , , у відрізок - одне число , , у відрізок - два числа , але зустрічається у вибірці три рази, тому , у відрізок - два числа , . Занесемо отримані дані у Таблицю.
Знайдемо за таблицею значень функції Лапласа величини
.
Побудуємо таблицю
-
0.6
1.6
2.6
3.6
4.6
0.012
0.093
0.353
0.714
0.934
Обчислимо . Занесемо отримані дані у Таблицю.. Заповнимо Таблицю:
Таблиця розрахунків за критерієм
-
1
1
0.081
0.648
0.352
0.124
0.191
2
1
0.260
2.080
-1.080
1.166
0.561
3
4
0.361
2.888
1.112
1.236
0.428
4
2
0.220
1.760
0.240
0.058
0.033
Усього
1.213
Виберемо рівень значущості . Порівняємо обчислене відхилення 1.213 та знайдену за таблицею розподілу величиною , оскільки в нашому випадку . Маємо
.
Гіпотеза приймається.
Зауваження. Для того, щоб критерій працював ефективно, треба, щоб було достатньо великим: всі величини мусять задовольняти нерівність . Оскільки в нашому випадку це не так, то зрозуміло, що приклад має виключно навчальний характер.