- •Елементи теорії ймовірностей
- •§1. Означення ймовірності
- •Простіші властивості ймовірності
- •Класичне означення ймовірності
- •VII. Геометрична ймовірність.
- •VIII. Умовна ймовірність. Формула Байєса.
- •§2. Послідовності незалежних випробувань
- •I. Послідовність незалежних випробувань.
- •II. Схема Бернуллі
- •Iіi. Граничні теореми у схемі Бернуллі
- •§3. Випадкові величини
- •II. Дискретна випадкова величина
- •III. Неперервна випадкова величина
- •§4. Нормальний розподіл та його властивості
- •§5. Кореляція
- •V. Кореляційний момент:
- •Vі. Коефіцієнт кореляції
- •Vіі. Лінійна регресія -
- •Елементи математичної статистики
- •§1 Вибірка та її характеристики
- •Варіаційний ряд.
- •Емпірична (вибіркова) функція розподілу
- •Полігон частот
- •Гістограма
- •§2 Задача перевірки статистичних гіпотез
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про параметри нормального розподілу : .
- •Гіпотеза про закон розподілу. Критерій Колмогорова.
- •§3. Довірчі інтервали
- •§4. Вибіркова кореляція
- •§5. Значущість вибіркового коефіцієнту кореляції
- •§6. Критерій , як критерій незалежності ознак
§3. Довірчі інтервали
З розглянутих прикладів випливає, що ми не можемо однозначно визначити, чи буде дана функція законом розподілу, що відповідає вибірці, яка розглядається. Це пов’язане з тим, що одна вибірка може відповідати різним випадковим величинам, які мають різні закони розподілу. Єдине, що ми можемо визначити – чи може функція, що розглядається, бути законом розподілу, який відповідає даній вибірці, чи не може. Але й це ми можемо зробити лише з певною ймовірністю. Також і невідомі параметри відомого розподілу не можна визначити точно, а можна лише з певною ймовірністю оцінити їх значення.
Припустимо, що маємо вибірку об’єму . Функція розподілу відповідної випадкової величини залежить від невідомого параметру . Інтервал називається довірчім інтервалом для параметру , якщо ймовірність потрапляння в цей інтервал є сталою:
.
Величина називається довірчою ймовірністю.
Нехай випадкова величина розподілена нормально з невідомими параметрами і . Тоді результати §2 пп.2 и 3 можна інтерпретувати наступним чином:
Отримані нерівності визначають довірчі інтервали для мат. сподівання та дисперсії нормально розподіленої випадкової величини за вибіркою. Тут - вибіркове середнє, - незміщена вибіркова дисперсія, - -границя розподілу Стьюдента с степенями вільності. - -границя розподілу Пірсона с степенями вільності. Значення границь можна знайти за таблицями (див. Додаток).
Приклад. Вибірка: . Об’єм .
Вважаємо, що випадкова величина розподілена нормально, знайдемо довірчі інтервали для мат. сподівання та дисперсії і . Довірчу ймовірність виберемо рівною . Тоді . Як обчислено раніше, , , . Знайдёмо за таблицями , , . Тоді з вказаних вище формул випливає, що довірчій інтервал для мат. сподівання:
.
Остаточно
.
Для дисперсії довірчій інтервал:
.
Остаточно
.
Як бачимо, інтервали доволі широкі.
§4. Вибіркова кореляція
І. Кореляційна таблиця
Припустимо, що спостерігаються значення, які набуваються двома випадковими величинами та . Маємо дві вибірки, які складаються
а) для : з , б) для : з , причому кожна пара значень спостерігається разів. Дані записуються у вигляді таблиці
|
|
|||
… |
||||
… |
||||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||||
… |
де сума по рядках: - кількість появ значення у вибірці для ,
сума по стовпчиках: - кількість появ значення у вибірці для . Загальна кількість пар (кількість спостережень)
Тоді вибіркові середні та дисперсії обчислюються за правилами:
(запис скорочений)
або
, - вибіркові середні квадратичні відхилення.
ІІ. Умовні вибіркові середні. Вибіркова регресія
Умовне вибіркове середнє - середнє арифметичне значень , що відповідають одному конкретному значенню :
- умовне середнє, що відповідає . Або скорочено:
Аналогічно для :
Вибіркова регресія на :
Вибіркова регресія на :
ІІІ. Вибірковий коефіцієнт кореляції
Вибірковий коефіцієнт кореляції є вибірковим аналогом коефіцієнта кореляції двох випадкових величин (див. §5 розд. Елементи теорії ймовірностей).
Зауваження. Вибірковий коефіцієнт кореляції не може бути по модулю більше одиниці.
В даному випадку також будуються лінійні наближення для вибіркової регресії –лінійні рівняння регресії на та на .
а) на
б) на
Помилка наближення оцінюється через вибіркове залишкове відхилення відносно
,
або відносно
.
Приклад. Задано кореляційну таблицю. Знайти вибірковий коефіцієнт кореляції, лінійні рівняння регресії на та на .
|
|
|||
10 |
3 |
2 |
15 |
|
- |
18 |
2 |
20 |
|
10 |
21 |
4 |
35 |
Знайдемо суми по рядках та по стовпчиках: та , та загальну кількість спостережень .
Знайдемо вибіркові середні, дисперсії та вибіркові середні квадратичні відхилення за правилами:
,
Обчислимо вибірковий коефіцієнт кореляції за формулою
Для цього знайдемо
Тоді
Лінійне рівняння регресії на :
Остаточно
Лінійне рівняння регресії на
Остаточно
Вибіркове залишкове відхилення відносно
,
або відносно
.
Порівняємо значення та наближені значення умовних середніх:
За таблицею
За рівнянням регресії
За таблицею
За рівнянням регресії
Як бачимо, отримані значення непогано узгоджуються між собою та в цілому (крім ) знаходяться у межах залишкових відхилень.