§5. Кореляція

І. Випадковий вектор

Вектор , де - випадкові величини, називається випадковим вектором.

ІІ. Закон розподілу дискретного двовимірного випадкового вектору

Припустимо, що дві дискретні випадкові величини приймають наступні значення:

Сумісний закон розподілу двох величин (двовимірного випадкового вектору):

.

Задається або таблицею:

				Σ
		…
		…
…	…	…	…	…
		…
Σ		…		1

де сума по рядках: - закон розподілу ,

сума по стовпчиках: - закон розподілу ,

або формулою.

ІІІ. Умовний закон розподілу:

:.

:.

Випадкові величини та незалежні, якщо умовні закони розподілу співпадають з безумовними:

,

.

ІV. Умовне математичне сподівання. Регресія

Як бачимо, умовне мат. сподівання однієї величини є функцією від значень другої величини. Ця функція називається регресією.

Функція регресії на :

Функція регресії на :

V. Кореляційний момент:

Обчислення

Легко показати, що

Обчислення

Якщо величини та незалежні, кореляційний момент дорівнює нулю.

Vі. Коефіцієнт кореляції

де , - середні квадратичні відхилення величин та .

Величини та корельовані, якщо .

Величини та некорельовані, якщо .

Якщо величини корельовані, то вони залежні, некорельовані величини можуть бути як залежними, так і незалежними.

Зауваження. Коефіцієнт кореляції не може бути по модулю більше одиниці.

Vіі. Лінійна регресія -

- лінійне наближення до функції регресії.

Лінійна регресія на : функція регресії замінюється лінійною функцією регресії .

Коефіцієнт регресії на

Лінійна функція регресії на :

Пряма з рівнянням

називається прямою лінійної регресії на .

Найбільш імовірна помилка, що виникає під час заміни регресії на лінійну регресію оцінюється через залишкове відхилення відносно

.

Лінійна регресія на : функція регресії замінюється лінійною функцією регресії .

Коефіцієнт регресії на

Лінійна функція регресії на

Пряма з рівнянням

називається прямою лінійної регресії на .

Найбільш імовірна помилка, що виникає під час заміни регресії на лінійну регресію оцінюється через залишкове відхилення відносно

.

Точка перетину прямих регресії з координатами називається центром сумісного розподілу та .

Приклад.

Задано таблицею сумісний розподіл випадкових величин та . Знайти розподіли та , регресію та лінійну регресію на та на .

				Σ
	0,10	0,30	0,20	0,60
	0,06	0,18	0,16	0,40
Σ	0,16	0,48	0,36	1

Знайдемо суми по рядках та по стовпчиках. Отримаємо закони розподілу випадкових величин та .

	0,16	0,48	0,36

	0,60	0,40

Знайдемо умовні закони розподілу.

:.

:.

Умовні мат. сподівання.

Знайдені сукупності чисел складають відповідно регресії на та на .

Знайдемо лінійні регресії на та на .

Обчислимо за законами розподілу мат. сподівання та дисперсії та :

Обчислимо мат. сподівання добутку величин та :

Обчислимо кореляційний момент

Коефіцієнт кореляції

Коефіцієнти регресії

Лінійна регресія на

Пряма регресії на

або

Залишкове відхилення відносно

Лінійна регресія на

Пряма регресії на

або

Залишкове відхилення відносно

.

Центр сумісного розподілу та : .

Порівняємо значення функцій регресії та наближених функцій лінійної регресії:

Як бачимо, отримані значення дуже добре узгоджуються між собою.

Зауваження. Аналогічні співвідношення існують і для неперервних випадкових величин (див., наприклад, [1]).