5. Гіпотеза про закон розподілу. Критерій Колмогорова.

Припустимо, що маємо вибірку об’єму . Закон розподілу невідомий. Висувається гіпотеза : функцією розподілу є дана функція . Треба порівняти її та побудовану за вибіркою емпіричну функцію розподілу і за величиною відхилення зробити висновок чи треба приймати цю гіпотезу.

Розглянемо величину відхилення

.

Тоді якщо , то гіпотеза відхиляється на рівні значущості ;

якщо , то гіпотеза приймається. При цьому

.

Тут - -границя розподілу Колмогорова. Значення її можна знайти за таблицею (див. Додаток).

Як знайти ? Оскільки функція розподілу усюди зростає, а емпірична функція розподілу стала на кожному проміжку і дорівнює , то верхня межа модуля різниці на проміжку досягається в одному з його кінців і дорівнює або , або (див. рис.4)

Рис.4

Таким чином, щоб знайти , треба знайти найбільше з відхилень (або , що так само ), або по всіх відрізках:

.

Приклад. Вибірка: . Об’єм .

Варіаційний ряд: .

а) Висуваємо гіпотезу, що відповідна випадкова величина розподілена нормально с параметрами . Знайдемо за таблицею значень функції Лапласа величини

.

Занесемо отримані дані у Таблицю. Побудована за вибіркою емпірична функція розподілу вказана у прикладі п.3 §1.. Занесемо її значення в точках в Таблицю. Заповнимо Таблицю:

Таблиця розрахунків за критерієм Колмогорова

	1	2	3	3.5	4	4.5
	0.030	0.173	0.500	0.681	0.827	0.921
	0	0.125	0.250	0.625	0.750	0.875
	0.030	0.048	0.250	0.056	0.077	0.046
	0.095	0.077	0.125	0.069	0.048	0.079

(Під час заповнення останньої клітинки вважаємо, що

=).

Знайдемо найбільше число у двох останніх рядках. Воно дорівнює 0.250. Це й буде . Виберемо рівень значущості . Порівняємо обчислене відхилення 0.250 та знайдену за таблицею розподілу Колмогорова величиною. Маємо

.

Гіпотеза приймається.

б) Висуваємо гіпотезу, що відповідна випадкова величина розподілена нормально с параметрами . Знайдемо за таблицею значень функції Лапласа величини

.

Занесемо отримані дані у Таблицю. Значення емпіричної функції розподілу такі самі, як у прикладі а).

Заповнимо Таблицю:

Таблиця розрахунків за критерієм Колмогорова

	1	2	3	3.5	4	4.5
	0.024	0.135	0.413	0.587	0.746	0.865
	0	0.125	0.250	0.625	0.750	0.875
	0.024	0.010	0.163	0.038	0.004	0.010
	0.101	0.115	0.212	0.163	0.129	0.135

(Під час заповнення останньої клітинки вважаємо, що

=).

Як бачимо, 0.212. Виберемо рівень значущості . Порівняємо обчислене відхилення 0.212 та знайдену за таблицею розподілу Колмогорова величиною . Маємо

.

Гіпотеза приймається.