век: а) равное число брюнетов, шатенов, блондинов и рыжих; б) число блондинов втрое больше числа рыжих. Ответ: а) 0,0145, б) 0,1131.

2.27. В продукции некоторого производства брак составляет 15 %. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий: В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий; С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20. Ответ: 0,095; 0,92.

Контрольная работа по разделу 2

1.Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна (а1+1)/10. На склад поступило 10 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется а2 телевизора со скрытыми дефектами или (10–а3)?

2.На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 3 января является днем рождения одновременно a1 студента факультета?

3.Контрольную работу с первого раза пишут успешно 60 % студентов. Найти вероятность того, что контрольную работу успешно напишут:

1) (1+а1) студентов из (1+а1+а2);

2) от (6–а3)*100 до (6+а4)*100 студентов из 1000.

3.Случайные величины

3.1.Закон распределения случайной величины

Определение. Случайной величиной называется функция, определенная на множестве элементарных значений и принимающая в зависимости от случая одно из возможных своих значений.

Выделяют непрерывные и дискретные случайные величины. В случае дискретных случайных величин множество значений конечно или бесконечно, но счетно. Пример такой величины – количество детей в

семье или стрельба до первого попадания. Множеством значений не-

33

прерывной величины является интервал на числовой оси, пример – дальность полета снаряда.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита и т.д.

Определение. Законом распределения случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Закон распределения можно задавать в виде таблицы, аналитически или графически. Рассмотрим табличный способ задания дискретной случайной величины. Для этого возможные значения и соответствующие вероятности записываются так:

3.2. Математические операции над случайными величинами

Определение. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие значения принимает другая величина.

Например, если имеются билеты двух различных лотерей, то случайные величины, выражающие выигрыш по каждому билету в денежных единицах, будут независимыми. Если же эти величины выражают выигрыш по одной лотерее, то они будут зависимыми.

Для определения математических операций рассмотрим наряду с дискретной случайной величиной, определенной в подразделе 3.1, независимую от дискретную случайную величину :

Замечание. В случае получения одинаковых значений соответствующие вероятности необходимо складывать, а значение случайной величины записывать только один раз. ■

Пример 3.1. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Складывая теперь вероятности при одинаковых значениях, получаем следующее распределение случайной величины :

в) Распределение получается аналогично предыдущему пункту:

0,08 0,22 0,34 0,24 0,12

3.3. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений на соответствующие вероятности, т.е.

(3.1)

Определение. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

(3.2)

36

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется значение арифметического корня квадратного из ее дисперсии:

(3.3)

Свойства математического ожидания

1.Математическое ожидание постоянной равно постоянной:

2.Константу можно выносить за знак математического ожидания:

3.Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е.

4.Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Константу можно выносить за знакдисперсии, возводя ее в квадрат:

3.Дисперсия алгебраической суммы конечного числа случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

4.Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

37