10.3. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема n = 100

10.4. Найти эмпирическую функцию по заданному распределению выборки:

10.5. Найти эмпирическую функцию по заданному распределению выборки:

11. Статистические оценки параметров распределения

11.1. Точечные оценки

Определение. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин [6].

Определение. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом , где – результаты наблюдений над количественным признаком (выборка).

75

Определение. Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Определение. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Определение. Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

ем выборки.

Определение. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

(11.2)

Эта оценка является смещенной, так как

(11.3)

Более удобна формула

(11.4)

Выборочная дисперсия характеризует рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения.

Определение. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

(11.5)

76

Кроме дисперсии, для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения используют

среднее квадратическое отклонение:

(11.6)

Так как среднее квадратическое отклонение − величина абсолютная, то для сопоставимости различных исследований применяют коэффициент вариации V, который представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах:

(11.7)

Пример 11.1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема:

Найти несмещенную оценку генеральной совокупности.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя

бором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 10, 12, 16, 18, 21. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня, б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Решение. а) Найдем выборочную среднюю:

.

б) Найдем выборочную дисперсию:

.

Найдем исправленную дисперсию:

77

. ■

Упражнения

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

11.2. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема:

11.3.По выборке объема найдена смещенная оценка генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

11.4.По данному распределению выборки объема n = 100

Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию выборки, выборочное среднее квадратическое отклонение.

11.5.В результате измерения физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 7, 9, 11, 13. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений, б)выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

11.6.Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов:

78