Texterläuterungen

1 – der Hellinismus - эллинизм, ведущее философское учение эллинской культуры

2 – die Ptolemäer - птолемейцы, сторонники геоцентрического учения Птолемея

3 – EUKLIDische Behandlung - трактовка Евклида

4 - √ A – Wurzel aus A

5 - EUDOXUS - Эвдокс, древний математик, пифагореец

Vokabeln

Gehalt, n - содержание ( денежное, материальное)

Erbe, n – наследие, наследство

Tiefe, f - глубина

Gleichheit, f - равенство

gleich – равный, одинаковый

darstellen, -te, -t – представлять собой, изображать

ähnlich sein – быть похожим, сходным, подобным

gegenwärtig – сейчас, в настоящее время

Teilbarkeit, f – делимость

Text 9. Die größten Mathematiker des Altertums.

/1/ Der größte Mathematiker der hellinistischen Periode - und darüber hinaus des gesamten Altertums – war ARCHIMEDES (287 – 212 v. u. Z.), der in Syrakus¹ als Ratgeber von König HIERON lebte. Er ist eine der wenigen wissenschaftlichen Persönlichkeiten des Altertums, von denen mehr als der bloße Name übrig geblieben ist²; über sein Leben und seine Person sind einige Einzelheiten bekannt. Wir wissen, dass er getötet wurde, als Syrakus von den Römern³ eingenommen wurde, nachdem er sein technisches Genie den Verteidigern der Stadt zur Verfügung gestellt hatte.

/2/ Die ersten Arbeiten von ARCHIMEDES sind Arbeiten zur Mechanik, in seinen späteren Arbeiten über Mathematik kommt die numerische Richtung ziemlich stark zum Ausdruck. Es gibt keinen Grund, das mathematische Schaffen von ARCHIMEDES aus seiner zweifellos vielseitigen und systematischen Ingenieurtätigkeit herauszulösen. Der Theoretiker ARCHIMEDES muss ausschließlich als ein hervorragender Vertreter der “mathematischen Physik” seiner Epoche gesehen werden.

/3/ Die bedeutendsten Beiträge, die ARCHIMEDES zur Mathematik geliefert hat, liegen auf dem Gebiet, das wir heute Integralrechnung nennen – Sätze über Flächeninhalte von ebenen Figuren und Volumina von Körpern. In seiner “Kreismessung” fand er Näherungswerte für den Kreisumfang mit Hilfe von einbeschriebenen regulären Vielecken.

/4/ In dem Buch “Kugel und Zylinder” finden wir den Ausdruck für die Kugeloberfläche (in der Form, dass die Kugeloberfläche viermal so groß ist wie die Fläche eines Großkreises) und für das Kugelvolumen (in der Form, dass dieses Volumen das 2/3fache vom Volumen des umbeschriebenen Zylinders beträgt). Der Ausdruck von ARCHIMEDES für den Flächeninhalt des Parabelsegments (das 4/3fache der Fläche desjenigen einbeschriebenen Dreiecks mit derselben Basis wie das Segment, dessen dritte Ecke in dem Punkt liegt, in welchem die Tangente parallel zur Basis ist) findet sich in seinem Buch “Quadratur der Parabel”.

/5/ Der Name von ARCHIMEDES ist auch mit seinem Satz über den Gewichtsverlust von in Flüssigkeiten eingetauchten Körpern⁴ (ARCHIMEDisches Prinzip) verbunden, der in seinem Buch “Über schwimmende Körper”, einer Abhandlung über Hydrostatik, enthalten ist.

/6/ In allen seinen Werken verband ARCHIMEDES eine überraschende Originalität der Gedankenführung mit großer Meisterschaft der Rechentechnik und Strenge der Beweise. Typisch für diese Strenge ist das “Axiom des ARCHIMEDES” und seine ständige Verwendung zum Beweis der Integrationsresultate.

/7/ Die Berührung mit der orientalischen⁵ Wissenschaft ist in der „Arithmetica“ von DIOPHANT (etwa 250 u. Z.) stark ausgeprägt. Sein Werk ist eine der großartigsten Abhandlungen aus dem griechisch-römischen Altertum. Die DIOPHANTische Sammlung von Problemen ist sehr vielseitig, und ihre Lösungen sind oft höchst geistvoll. Typisch für DIOPHANT ist die Tatsache, dass er an positiven rationalen Lösungen interessiert ist; irrationale Lösungen nennt er „unmöglich“ und sorgfältig darauf gedacht, seine Koeffizienten so zu wählen, dass er die positive rationale Lösung erhält, die er sucht. DIOPHANT kennt auch einige Sätze aus der Zahlentheorie, beispielsweise den Satz (III.19), wonach das Produkt von zwei ganzen Zahlen, von denen jede die Summe von zwei Quadraten ist, auf zwei Arten in zwei Quadrate zerlegt werden kann. Er besitzt auch Sätze über die Darstellung einer Zahl als Summe von drei und vier Quadraten.

/8/ Bei DIOPHANT wird zum ersten Mal ein systematischer Gebrauch von algebraischen Symbolen gemacht. Er hat ein besonderes Zeichen für die Unbekannte, für die Subtraktion und für die Reziprokenbildung. Die Zeichen besitzen noch mehr den Charakter von Abkürzungen als den von algebraischen Symbolen im heutigen Sinne (sie bilden die so genannte „rhetorische“ Algebra); für jede Potenz der Unbekannten gibt es ein besonderes Symbol.

/9/ Die griechischen Mathematiker machten einen Unterschied zwischen „Arithmetik“ oder Wissenschaft von den Zahlen und „Logistik“ oder praktische Rechenkunst. Der Ausdruck „arithmos“ bezog sich nur auf „natürliche Zahlen“, auf „aus Einheiten zusammengesetzte Größen“; dies bedeutete auch, dass „eins“ nicht als eine Zahl angesehen wurde. Unser Begriff der reellen Zahl war unbekannt. Eine Strecke hatte daher nicht immer eine Länge. Geometrisches Denken ersetzte unser Arbeiter mit den reellen Zahlen. Wenn EUKLID die Tatsache ausdrücken wollte, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der halben Produkt aus Grundlinie und Höhe ist, musste er sagen, dass sie halb so groß ist wie die Fläche eines Parallelogramms von gleicher Grundlinie, das zwischen denselben Parallelen liegt (EUKLID).

/10/ Der Satz des PYTHAGORAS stellte eine Beziehung zwischen den Flächen von drei Quadraten dar und nicht zwischen den Längen von drei Seiten. Die „Elemente“ von EUKLID geben eine Theorie der quadratischen Gleichungen, aber sie wird unter „Anlegung“ von Flächen behandelt, und da die Wurzeln durch gewisse Konstruktionen gefundene Strecken sind, kann man verstehen, dass die einzigen zugelassenen Wurzeln die positiven sind. In den „Elementen“ besitzt jedoch eine Strecke nicht notwendig einen ihr zugeordneten Zahlenwert. Die gewöhnliche rechnerische Mathematik (unter dem Namen „Logistik“) blieb während aller Perioden der griechischen Geschichte sehr lebendig.