Texterläuterungen

1 – in gewissen Umfange – в определённом объёме

2 – zu tun hatte - занималась

3 - zurückzuführen versuchte – пыталась обосновать

4 – ZENO von Elea – ЗЕНО из Элеа, ученик греческого математика ПАРМЕНИДА

5 – (das) Sein der Dinge – существование вещей

Vokabeln

Beziehung, f – связь, отношение

mythisch - мифический

Gewicht, n - вес

Gesetz, n - закон

spekulativ – умозрительный, основанный на рассуждении

einteilen, te,t in (Akk.) – делиться на …

Primzahl, f – простое число

Polygon, n - многоугольник

regulär - правильный

Erörterung, f – обсуждение, разбор, анализ

Text 8. Die “Elemente” des euklid.

/1/ In der Periode des Hellinismus¹ entstand der berufsmäßige Wissenschaftler, also ein Mann, der sein Leben dem Studium der Wissenschaft widmete und dafür ein Gehalt empfing. Einige der bedeutendsten Vertreter dieses Kreises von Menschen lebten in Alexandria, wo die Ptolemäer³ ein großes Zentrum der Gelehrsamkeit in dem so genannten Museum mit seiner berühmten Bücherei errichteten. Hier wurde das griechische Erbe in Wissenschaft und Literatur bewahrt und weiter entwickelt. Der Erfolg dieser Einrichtung war beträchtlich. Unter den ersten Gelehrten, die mit Alexandria verbunden waren, befand sich EUKLID (306 – 283 v. u. Z.), einer der einflussreichsten Mathematiker aller Zeiten. Seine berühmtesten und wissenschaftlich bedeutsamsten Werke sind die 13 Bücher seiner “Elemente”.

/2/ Wir wissen nicht, wie viele dieser Texte von EUKLID selbst stammen und wie viele von ihnen nur Zusammenfassungen sind, aber sie zeigen an vielen Stellen eine erstaunliche sachliche Tiefe. Es sind die ersten vollständigen mathematischen Lehrbücher, die aus der griechischen Antike auf uns gekommen sind.

/3/ Die Darstellung EUKLIDs wird auf eine streng logische Deduktion der Sätze aus einer Anzahl von Axiomen gegründet. Die ersten vier Bücher behandeln die ebene Geometrie und führen von den elementarsten Eigenschaften von Geraden und Winkeln zur Dreieckkongruenz und Flächengleichheit, zum Satz des PYTHAGORAS, zur Konstruktion eines Quadrats, das zu einem gegebenen Rechteck flächengleich ist, zum Goldenen Schnitt, zum Kreis und zu den regulären Vielecken.

/4/ Das fünfte Buch stellt die Theorie der Größen in rein geometrischer Form dar, und im sechsten Buch wird sie auf die Ähnlichkeit von Dreiecken angewendet. Diese Darstellung der Ähnlichkeitslehre ist einer der hauptsächlichen Unterschiede zwischen der EUKLIDischen Behandlung³ der ebenen Geometrie und dem gegenwärtigen Verfahren und muss dem besonderen Gewicht zugeschrieben werden, das von EUKLID der neuen Theorie beigemessen wird. Die geometrische Diskussion wird im zehnten Buch wieder aufgenommen, das meist als das schwierigste unter den Büchern des EUKLID angesehen wird und das eine geometrische Klassifizierung quadratischer Irrationalitäten und von Quadratwurzeln aus solchen enthält, die wir daher als Zahlen von der Form ⁽¹⁾ bezeichnen. Die letzten drei Bücher behandeln räumliche Geometrie und führen über räumliche Winkel, die Volumina von Parallelepiped, Prisma und Pyramide zur Kugel.

/5/ Die Bücher VII – IX sind der Zahlentheorie gewidmet – nicht einer Technik des Rechnens, sondern solchen Pythagoreischen Fragestellungen wie der Teilbarkeit von ganzen Zahlen, der Summierung von geometrischen Reihen und einigen Eigenschaften von Primzahlen. Von besonderem Interesse ist der Satz VI.27, der das erste Maximumproblem enthält.

/6/ Das fünfte Postulat von Buch 1 (die Beziehung zwischen “Axiomen” und “Postulaten” bei EUKLID ist nicht klar) ist dem so genannten “Parallelenaxiom” gleichwertig, nach welchem durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Geraden eine und nur eine Gerade parallel zu dieser Gerade gezogen werden kann.

/7/ Die algebraischen Überlegungen werden bei EUKLID vollständig in geometrischer Fassung dargestellt. Der Ausdruck ⁴ wird als Seite eines Quadrates der Fläche A eingeführt, das Produkt a × b als Fläche eines Rechteckes mit den Seiten a und b. Diese Ausdrucksweise war in erster Linie eine Folge der Theorie der Proportionen von EUDOXUS⁵, der ganz bewusst numerische Angaben für Strecken verwarf. Die Arithmetik beschränkte sich ausschließlich auf “Zahlen” (positive ganze Zahlen) und ihre Verhältnisse.