5. Законы распределения наработки изделий до отказа
Задача 15. Какая информация заключена в утверждении «интенсивность отказов элемента λэ = 0,0007 (1/час)»? Из этого утверждения следует понять главное – интенсивность отказов этого элемента не зависит от времени, а это возможно только в одном случае, когда наработка до отказа этого элемента распределяется по экспоненциальному закону.
Кроме того, исходную информацию можно представить в соответствии с выражением (2-29) курса лекций
7 7 7 7
0,007 = ------------ = ------------ = ------------ = ------------ .
1000 1 100 10 10 100 1 1000
Здесь важно помнить, что первая форма представления с точки зрения Теории надёжности неверна – если к началу интервала в работе остался только один объект, то в течение этого интервала семь объектов отказать никак не может. Лучше всего озвучить полученную информацию по последней форме:
Если у какой-то партии изделий интенсивность отказов составляет 0,0007 (1/час), то в этом случае в среднем будет выходить из строя 7 изделий в час из каждых 10000 работающих изделий.
Задача 16. Плотность распределения наработки до отказа быстродейст-вующих выключателей для момента времени, равного средней наработке до отказа, составляет 184 10-6 1/час. Считая справедливым экспоненциальный закон распределения наработки БВ до отказа, определить интенсивность их отказов.
Последняя фраза означает, что λ = Сonst, а f(Тср) = 184 10-6 1/час.
Запишем выражение для плотности распределения при экспоненциальном законе распределения по выражению (3-2) курса лекций
f(t) = λ Ехр(-λ t )
В наших условиях f(Тср) = λ Ехр(-λ Тср) = λ Ехр(-1) = 184 10-6 (1/час),
так как для экспоненциального закона распределения СНДО и интенсивность отказов λ взаимно обратные величины. Отсюда интенсивность отказов
λ = f(Тср)/е-1 = 184 10-6 е = 5 10-4 1/час.
Задача 17. В течение некоторого интервала времени из партии изделий, поставленных на испытания, произошло 8 отказов, а в течение такого же следующего интервала – еще 6 отказов. Определить количество изделий, оставшихся исправными к моменту времени, разделяющему эти интервалы, в предположении экспоненциального закона распределения наработки изделий до отказа.
На первый взгляд в задаче не хватает исходных данных. Но это не так. Что нам дано? Два равных интервала времени t между тремя моментами времени - t1, t2 и t3. Кроме того, нам известен закон распределения НДО – экспоненциальный, а главная особенность этого закона – постоянство интенсивности отказов, значит, записав выражения ее статистических оценок для каждого из этих интервалов, мы получим уравнение
n(t1, t2) n(t2, t3)
---------------- = --------------- .
t N(t1) t N(t2)
8 6
---------------- = --------------- .
t N(t1) t N(t2)
В полученном уравнении два неизвестных – N(t1) и N(t2), следовательно, необходимо найти связь этих неизвестных между собой. Оба эти числа представляют собой количество исправных изделий к моментам начал соответствующих интервалов. Но если к моменту времени t1 было исправно N(t1), изделий, а к моменту времени t2 осталось только N(t2), то разность этих чисел не что иное, как число отказавших в промежутке между ними, то есть n(t1, t2) = 8. Отсюда второе уравнение
N(t1) = N(t2)+8.
Подставляя вместо N(t1) правую часть этого равенства, получим
8 6
--------------- = ----------- .
[N(t2)+8] N(t2)
6 [N(t2)+8] = 8 N(t2) или 6 N(t2) + 48 = 8 N(t2) или 2 N(t2) = 48,
откуда N(t2) = 24.
Задача 18. У кривых 1 и 2, построенных на рисунке 4 по формуле Вейбулла, параметр b одинаков. У которой из них будет больше параметр a?
У которой из кривых 1 и 3, построенных по формуле Вейбулла, будет больше параметр b, если их СНДО приблизительно одинаковы?
р(t)
Р(t)
= Exp(-atb)
1 3 2
0 t1 t2 t
Рис. 4.