Функция и плотность распределения случайной величины
СНДО - математическое ожидание времени работы объекта до отказа.
Тср = M[T].
Из теории вероятностей известно выражение математического ожидания случайной величины Х
+∞
M[Х] = ∫x f(x)dx.
-∞
В Теории надежности главная случайная величина - наработка до отказа Т. Она не может быть отрицательной. Поэтому СНДО определяется иначе, через ВБР. Пояснение этой формулы дается в курсе лекций.
∞
Тср = ∫p(t)dt.
0
Математическое ожидание М[Т] называют первым начальным моментом
случайной величины. В теории случайных величин кроме начальных используется понятие центральных моментов, то есть моментов центрированных случайных величин. Центрированной случайной величиной называется отклонение какой-либо случайной величины от ее среднего значения, то есть величина
Ť = (Т -Тср)
Очевидно, что момент первого порядка или среднее значение величины Ť равен нулю. Если взять квадрат таких отклонений от среднего значения случайной величины или ее второй центральный момент, то он будет отличаться от нуля. Этот второй центральный момент случайной величины называют ее дисперсией и статистически определяют по формуле
N
D = 1/(N-1) (ti-Тср)2
i=1
Квадратный
корень из дисперсии называют среднее
квадратичное откло-нение
=
√ D.
4. Показатели надежности невосстанавливаемых объектов и законы распределения наработки изделий до отказа
Задача 7.Функция надежности аккумуляторной батареи, работающей без
подзаряда, описывается эмпирической формулой р(t) = 1 – 0,15625 10-5t2, где t – время в часах. Определить максимальное время Тмах, в течение которого возможна работа батареи до наступления необратимого отказа, то есть разрушения батареи из-за отсутствия подзаряда.
Что такое «необратимый отказ» и чем он характеризуется? Как связать этот
отказ с имеющейся зависимостью ВБР от времени? Чему равно значение ВБР в момент отказа? Оно равно нулю. Поэтому, приравнивая заданное выраже-ние нулю, и заменяя t на Тмах, получим ответ:
1= 0,15625 10-5 Тмах 2; Тмах 2= 105 /0,15625 = 640000 час2 ;
Тмах =800 часов.
Задача 8.Функция надежности некоторого устройства описывается эмпирической формулой р(t) = Cos(π10-4 t), где t – время в часах. Определить максимальное время работы этого устройства Тмах.
Так как значение ВБР в момент отказа равно нулю, приравниваем заданное выражение нулю. Значение функции косинуса равно нулю при значении аргумента π/2, откуда
π10-4 t = π/2 или 10-4 t = 0.5, откуда t = 0.5 104 = 5000 часов.
Задача 9. Функция надежности выпрямительно-преобразовательного агрегата (ВПА) задана таблицей. Определить вероятность отказа агрегата на интервале от 3000 до 3500 часов, если до 3000 часов он проработал безотказно.
|
t, час |
500 |
1000 |
1500 |
2000 |
2500 |
3000 |
3500 |
4000 |
|
р(t) |
0,995 |
0,980 |
0,845 |
0,860 |
0,885 |
0,675 |
0,545 |
0,305 |
На основании формулы (2-20) статистическая оценка условной вероятности отказа
q(3000,3500) = 1 - р(3000,3500).
р(3500) 0,545
q(3000,3500) = 1 - ------------- = 1 - ---------- = 1 - 0,807 = 0,193.
р(3000) 0,675
Задача 10. Какое значение должна иметь ВБР устройства, проработавшего 5000 часов, чтобы оно проработало ещё 1000 часов с условной вероятностью безотказной работы 0,84 и имело в конце этого интервала безусловную ВБР 0,7.
Запишем выражение условной вероятности безотказной работы на заданном интервале. Его начало – 5000 часов, а окончание – 5000 + 1000 = 6000 часов.
р(6000)
р(5000,6000) = ------------- .
р(5000)
Числитель этого выражения – безусловная ВБР в конце заданного интервала - нам задан. Задана и условная ВБР на этом интервале. Поэтому значение безусловной ВБР в начале интервала
р*(6000) 0,7
р*(5000) = ---------------------- = -------- = 0,8333.
р*(5000,6000) 0,84
Задача 11.В компенсирующих устройствах ЭЧ работает 70 высоковольт-ных конденсаторов, функция надежности которых задана таблицей. Сколько конденсаторов может отказать в течение 4-го года эксплуатации?
t , год 1 2 3 4 N(0) = 70
t(3,4)
= 1 год
р*(t) 0,95 0,88 0,75 0,65 n(3,4) = ?
Число отказов в интервале «четвертый год» – это число отказов между его началом и концом. Если с концом года все ясно, то где начало этого периода? Это конец предыдущего года, то есть третьего. Искомое число отказов
n(3,4) = n(4) -n(3) = N(3) - N(4) ,
так как для любого момента времени справедливо равенство
n(t) + N(t) = N(0)
N(t) – число изделий, оставшихся исправными к моменту времени t.
Из определения статистической оценки ВБР р*(t) = N(t)/N(0) можно определить N(t) = р*(t) N(0)
Тогда n(3,4) = n(4) -n(3) = N(3) - N(4) =
= р*(3) N(0) - р*(4) N(0) = [ р*(3) - р*(4)] N(0) =
= (0,75 – 0,65) 70 = 0,1 70 = 7 конденсаторов.
Задача 12.В результате испытаний на надежность партии высоковольтных конденсаторов получена функция надежности. Сколько конденсаторов было поставлено на испытания, если в период от 1000 часов до 1500 часов отказало 20 конденсаторов?
t , час 500 1000 1500 2000 n(1000,1500) = 20
р*(t) 0,975 0,825 0,7 0,6 N(0) = ?
В предыдущей задаче было получено выражение, связывающее число отказов в интервале, ВБР и общее число изделий N(0).
n(1000,1500) = [ р*(1000) - р*(1500)] N(0).
Отсюда искомое число N(0) определится
n(1000,1500) 20 20
N(0) = ---------------------------- = ------------------ = --------- = 160.
р*(1000) - р*(1500) 0,825 – 0,7 0,125
Задача 13.На испытания поставлены 520 изоляторов. За наработку 1000 часов отказало 20 изоляторов, а за последующие 100 часов – еще 4. Опреде-лить интенсивность отказов изоляторов в промежутке времени t(1000,1100).
Прежде всего, запишем условие задачи в соответствии с терминами и сим-волами Теории надежности. N(0)= 520; n(1000) = 20; n(1000,1100) = 4.
λ*(1000,1100) = ?
Запишем выражение для статистической оценки интенсивности отказов
n(t, t+t)
λ*( t, t+t) = -----------------,
t N(t)
где t – начало интервала, то есть 1000 часов.
В выражении (11) нам неизвестна величина N(t) –количество изделий, оставшихся исправными к моменту времени t. Это количество на основании (10)
N(1000) = N(0) - n(1000) = 520 – 20 = 500.
Теперь
4
λ*(1000,1100) = -------------- = 8 10-5 1/час.
100 500
Задача 14. Интенсивность отказов полупроводниковых вентилей постоянна во времени и равна 0,0125 1/час. В системе 100 вентилей. За 4 часа работы функция надежности изменяется на 0,02. Определить число отказов вентилей за этот промежуток времени и общее число отказавших вентилей в начале рассматриваемого периода.
Прежде всего, определим число отказов вентилей за 4 часа работы.
n(t, t+t) = N(0) p(t, t+t) = 100 0,02 = 2.
В выражении (11) нам неизвестна лишь величина N(t) – число исправных изделий к моменту начала интервала. Умножив обе части выражения (11) на эту величину и разделив на заданную нам величину λ*( t, t+t), получим
n(t, t+t) 2 200
N(t) = ---------------------- = ----------------------- = ------------ = 40.
t λ*t, t+t) 4 1.25 10-2 4 1.25
Теперь N(t) = N(0) - n(t ) = 100 – 40 = 60.