Тогда ответ к задаче

р = 1 - 0,16 = 0,84.

В случае второго варианта задачи такой подход к решению будет особенно эффективным. Событие, противоположное заданному – неисправность всех четырёх лампочек. Его вероятность

р(Противопол) = q₁ q₂ q₃ q₄ = 0,4 0,4 0,4 0,4 = 0,0256,

а ответ ко второму варианту задачи

р = 1 - 0,0256 =0,9744.

Если представить ситуацию графически, то станет понятным, почему в случае совместных событий сложение вероятностей дает ошибку. На рисунке 2 цифрой 1 отмечена область первого события,2 – второго и3 – третьего. Все остальное пространство относится к событию4.

Состояния безотказной работы ламп (две фигуры, похожие на эллипсы, на рисунке 2) накладываются друг на друга и, суммируя их вероятности, мы область3учли дважды.

1 3 2 4

Рис. 2

Области событий исправности и неисправности

Так как эта область соответствует вероятности третьего события, можно вывести формулу для определения искомой вероятности, вычитая из суммы вероятностей безотказных работ лампочек их произведение

р = р(А) + р(В) - р(А) р(В) , (8)

что в нашем конкретном случае даст тот же результат, что и выше

р = 0,6 + 0,6 - 0,6 0,6 = 1,2 – 0,36 = 0,84.

Если бы события были несовместны, то есть исправность одной лампочки означала бы обязательную неисправность второй и наоборот, то изображенные на рисунке области не накладывались бы друг на друга (как в случае задачи с тузами), и искомая вероятность определялась бы как простая сумма заданных вероятностей безотказной работы лампочек.

Задача 3. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону, после чего вынимают еще один шар, который оказывается белым. Найти вероятность того, что первый вынутый шар, отложенный в сторону, тоже белый.

Если бы мы не имели информации о втором шаре, то ответ был бы прост и

понятен

р(бел) = а/(а + b)

Но мы знаем, что один из шаров вынут из урны, и этот шар белый. Поэтому

мы должны решать эту задачу так, как если бы мы посмотрели на цвет первого

вынутого шара, а определяли вероятность появления белого шара во втором опыте, когда в урне всего (а + b –1) шаров, и их них белых - (а-1). Можно дать и такое пояснение. Так как первый шар мы не видим, то все равно, где он находится – в урне или вне её. Отсюда

р(бел) = (а-1)/(а + b –1).

Задача 4.Вероятность того, что подъезжающий к перекрёстку автомобиль повернёт направо, равна 0.38, того, что повернёт налево – 0.31, а вероятность езды прямо – 0.22. Определить вероятность того, что автомобиль совершит на этом перекрёстке разворот и поедет назад?

Задача может быть решена только путём составления полной группы несовместных событий. Четырё перечисленных выше события составляют такую группу, так как никакого пятого события быть не может (или мы принимаем допущение, что не может). Вероятности всех этих событий кроме одного нам известны. Известна и сумма вероятностей полной группы несовместной событий, она равна единице. Тогда

Р(разв) = 1 - Р(прав) - Р(лев) - Р(прям) =

1 – 0,38 – 0,31 – 0,22 = 1 - 0,91 = 0,09.

Ответ следует давать с учётом принятых допущений – если автомобиль не заглохнет на перекрёстке, если не случится никаких других событий, то искомая вероятность составляет 0,09.

Задача 5.В кошельке было некоторое количество двухрублёвых монет. Владелец кошелька взял какое-то количество этих монет и заменил их рублевыми монетами так, что сумма денег в кошельке не изменилась. После этой операции вероятность извлечения из кошелька наудачу двухрублёвой монеты оказалась в 3 раза больше вероятности извлечения монеты рублёвой. Сколько двухрублёвых монет подверглось размену на рублёвые?

N – исходное количество двухрублёвых монет;

k – количество двухрублёвых монет, разменянных на рублёвые.

Количество монет в кошельке после размена N - k + 2k = N + k.

Вероятность извлечения из кошелька наудачу двухрублёвой монеты

Р₂ = (N – k)/(N + k),

а вероятность извлечения рублёвой монеты

Р₁ = 2k/(N + k).

По условию задачи Р₂ = 3 Р₁, откуда N – k = 6 k или N = 7 k.

Данные задачи позволяют определить количество монет, взятых для размена, только как долю от первоначального количества «двушек» - 1/7.

А если бы в отличие от Задачи 2 лампочки были неодинаковые?

Задача 6. В ящике имеется 80 лампочек – 48 штук мощностью 100 Вт, 24 штуки мощностью 60 Вт и 8 штук мощностью 40 Вт. Вероятности безотказной работы лампочек 100 Вт р₁ = 0,75, лампочек 60 Вт р₂ = 0,50 и лампочек 40 Вт р₃ = 0,40. Определить вероятность того, что любая наугад взятая лампочка окажется исправной.

Для решения этой задачи опять составим перечень всех возможных событий. Здесь таковых будет шесть:

1. Извлечена лампочка 100 Вт, и она исправна.

2. Извлечена лампочка 100 Вт, но она неисправна.

3. Извлечена лампочка 60 Вт, и она исправна

4. Извлечена лампочка 60 Вт, но она неисправна.

5. Извлечена лампочка 40 Вт, и она исправна

6. Извлечена лампочка 40 Вт, но она неисправна.

Из составленной полной группы несовместных событий условию задачи отвечают события 1, 3 и 5.

Вероятности каждого из этих событий определим по выражению (3), где первые сомножители Р(А) представляют собой вероятности извлечения ламп той или иной мощности, а вторые сомножители Р(В/А) – вероятности р₁, р₂, и р₃ – условные вероятности исправности лампочек при условии извлечения лампочек 1-го, 2-го или 3-го значений мощности.

p(Соб₁) = (48/80) р₁ = 0,6 0,75 = 0,45;

p(Соб₃) = (24/80) р₂ = 0,3 0,5 = 0,15;

p (Соб₅) = (8/80) р₃ = 0,1 0,4 = 0,04.

Искомая вероятность определится суммой

р = 0,45 + 0,15 + 0,04 = 0,64.

Решив эту задачу, мы численно проиллюстрировали известную из математики [л3] теорему полной вероятности

n

р(В) =  р(А_i) р(В/А_i), (9)

i=1

где р(А_i) –вероятность извлечения из ящика лампочки i-го значения

мощности;

р(В/А_i) – вероятность исправности лампочки i –го значения мощности

(у нас это - р₁, р₂, и р₃).