Lm(ω), дБ
|
|
|
20lgk, k>1 |
k = 1 |
lg ω |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20lgk, k<1 |
|
ω, Гц |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2.17. Графики ЛАЧХ апериодических звеньев с различными значениями коэффициента усиления k
Сопоставив рис.2.17 и 2.18 можно утверждать, что для низкочастотных сигналов в первую очередь следует учитывать фазовые искажения, которые проявляются значительно раньше, чем амплитудные.
ϕ(ω), рад |
|
0 |
lg ω |
|
|
ωc |
ω, Гц |
−π/4 |
|
−π/2 |
|
Рис.2.18. График ЛФЧХ апериодического звена |
|
2.4. Дифференцирующее звено первого порядка
Операцию дифференцирования при помощи технических средств идеально осуществить невозможно, ее выполняют с той или иной степенью приближения, обусловленной инерционностью технических средств.
Дифференцирующее звено первого порядка описывается следующим дифференциальным уравнением:
a0x(t) = b1z′(t) + b0 z(t) .
Определим выходной сигнал:
|
b0 |
|
b1 |
′ |
|
x(t) = |
|
|
[ |
|
z (t) + z(t)] |
a |
0 |
b |
|||
|
|
0 |
. |
||
48
Приведем выражение для выходного сигнала x(t) к стандартной форме. Введем обозначения: k = b0 / a0 - коэффициент передачи; τ = b1 / b0 - постоянная времени звена. В результате получим:
x (t) = k (τz′(t) + z(t)). |
(2.7) |
|
Выходная величина дифференцирующего звена первого порядка имеет две составляющие: первая пропорциональна производной от входной величины; вторая пропорциональна самой входной величине. Благодаря этому дифференцирующее звено первого порядка хорошо передает быстрые изменения входного сигнала. Такое звено часто включают в
автоматическую систему в качестве корректирующего устройства для улучшения процесса регулирования.
Преобразуем по Лапласу обе части дифференциального уравнения (2.7) при нулевых начальных условиях:
X (s) = k(τsZ(s) + Z(s)).
Найдем передаточную функцию дифференцирующего звена первого порядка:
W (s) = |
|
X (s) |
|
W (s) = k(τs + 1). |
|
Z(s) , |
|||
|
|
|||
s = − |
1 |
|
|
|
Она имеет один нуль в точке |
τ . |
|
||
Перейдем к изучению частотных характеристик. АФХ дифференцирующего звена первого порядка имеет вид:
W ( jω) = k(τjω + 1).
Вещественная и мнимая составляющие W ( jω) равны
U (ω) = k ; V (ω) = kτω.
Действительная часть АФХ не зависит от частоты, а мнимая часть зависит от частоты по линейному закону. Их графики для положительных значений частот представлены на рис.2.19.
U(ω), V(ω) |
|
|
|
V(ω) |
|
|
|
U(ω) |
k |
|
|
0 |
1/t |
w |
Рис.2.19. Графики функций U(w) и V(w) |
||
дифференцирующего звена первого |
||
|
порядка (w ³ 0) |
|
Построим годограф дифференцирующего звена первого порядка для
положительных частот. Если взять несколько различных значений частоты ωi , то всем им будет соответствовать одно и то же значение k на действительной оси и различные
значения kτωi на мнимой оси. Поэтому годограф представляет вертикальную линию, проходящую через точку с координатами (k, 0) (рис.2.20).
49
V(ω) |
|
|
|
|
|
|
ω |
8 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = 1/τ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
ω = 0 |
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
U(ω) |
||
Рис.2.20. Годограф дифференцирующего
звена первого порядка
Определим АЧХ и ФЧХ. Представим дифференцирующее звено первого порядка в виде последовательного соединения двух звеньев (усилительного звена
W1(s) = k и звена с передаточной функцией W2(s) = τs +1). По общему правилу (см. § 2.1) получим:
H (ω) = k
1+ τ2ω2 ;
ϕ(ω) = arctg k0 + arctg τω1 = arctg(ωτ).
Графики соответствующих зависимостей приведены на рис.2.21 и 2.22.
H(ω) 
k
0 |
|
ω |
|
Рис.2.21. График АЧХ дифференцирующего звена
первого порядка
Возрастающий характер АЧХ указывает на чувствительность дифференцирующего звена первого порядка к помехам (так же, как и идеального дифференцирующего звена).
Из графика ФЧХ следует, что звено создает опережение по фазе, изменяющееся в пределах от ϕ = 0 при ω = 0 до ϕ = π / 2 при ω→∞. При ω = 1 / τ имеем ϕ = π / 4.
Построим ЛЧХ дифференцирующего звена первого порядка (рис.2.23 и 2.24):
Lm (ω) = 20lg k + 20lg 
1 + ω2τ2 . Если k =1, то Lm (ω) = +20lg 
1+ ω2τ2 .
50
ϕ(ω) |
|
|
π/2 |
|
|
π/4 |
|
|
0 |
ω = 1/τ |
ω |
|
Рис.2.22. График ФЧХ дифференцирующего звена
первого порядка
Найдем низкочастотную и высокочастотную асимптоты:
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
2 2 |
|
= 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ê20lg 1+ ω T |
ú |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1) ω→0 |
ë |
|
|
|
|
|
û |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
= 20lgwT. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim ê -20lg |
1+ ω T |
ú |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2) ω→∞ë |
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
||
Причем частота среза |
w = |
1 |
|
|
|
|
наблюдается наибольшая |
||||||||||
|
c |
t . На частоте wc |
|||||||||||||||
погрешность аппроксимации, равная 3 дБ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Характерные особенности ЛФЧХ дифференцирующего звена первого порядка: |
|||||||||||||||||
lim [arctg(wt)]= 0 |
|
lim [arctg(wt)]= π / 2; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) ω→0 |
, |
|
|
ω→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) на сопрягающей частоте ωc =1 / T |
сдвиг по фазе составляет 45°. |
||||||||||||||||
|
Lm(ω), дБ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
20lgk, k>1 |
|
k = 1 |
|
|
|
|
lg ω |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20lgk, k<1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω, Гц |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2.23. Графики ЛАЧХ дифференцирующих звеньев
первого порядка с различными значениями коэффициента усиления k
Из графиков, приведенных на рис.2.23 и 2.24, следует, что после частоты среза
wc дифференцирующее звено первого порядка усиливает входной сигнал. Выходной сигнал на всех частотах опережает по фазе входной сигнал.
51
ϕ(ω), рад |
|
|
π/2 |
|
|
π/4 |
|
|
|
|
lg ω |
0 |
ωc |
ω, Гц |
Рис.2.24. График ЛФЧХ дифференцирующего звена |
||
|
первого порядка |
|
Данное звено физически не реализуемо, так как степень полинома числителя
( m = 1) передаточной функции W (s) больше степени полинома ее знаменателя ( n = 0 ). |
В качестве дифференцирующего звена первого порядка на практике применяется RC- |
цепочка, изображенная на рис.2.25. Определим ее передаточную функцию и выясним условия, при которых она представляет дифференцирующее звено первого порядка.
С
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (t) |
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
U2(t) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Рис.2.25. RC-цепочка - пример реализации |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
дифференцирующего звена |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первого порядка |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Передаточная функция RC-цепочки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
W (s) = |
U2 (s) |
= |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
R2 (R1Cs +1) |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
U1(s) |
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
R1R2Cs + R1 + R2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 + |
× sC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R + |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
sC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1Cs +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(R + R ) |
|
|
R1R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cs |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R + R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1R2C |
|
|
|
|
|
|||||||||
k = |
|
|
|
|
; T = R C; T = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
R1 + |
R2 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
R1 |
+ R2 или T2 = kT1. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
В результате получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1s +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W (s) = k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T s +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Звено с данной передаточной функцией называют реальным дифференцирующим звеном первого порядка.
52