2.12. Методика построения ЛЧХ сложных САУ

N L

20lg A(ω) = 20lgååAik (ω);

i =1 k =1

N Li

ϕ(ω) = ååϕik (ω).

i =1 k =1

В настоящее время имеется ряд математических пакетов, которые могут успешно

использоваться для построения и дальнейшего исследования ЛЧХ сложных динамических систем. Однако в некоторых случаях, например на этапе

предварительного качественного исследования САУ или при проверке адекватности разработанных программных моделей, возникает необходимость использования упрощенных асимптотических ЛЧХ. Кроме того, рассмотрение последних представляет

самостоятельный интерес с точки зрения более глубокого понимания динамики функционирования САУ.

Можно выделить два вида ЛАЧХ типовых звеньев, имеющих вид:

∙одной линии (например, ЛАЧХ безынерционных, интегрирующих и дифференцирующих звеньев);

∙двух сопрягаемых линий (горизонтальной - низкочастотной асимптоты и

наклонной - высокочастотной асимптоты) (например, ЛАЧХ апериодического звена, дифференцирующего звена первого порядка).

Процедуру сложения графиков ЛАЧХ можно упростить, если первым построить график ЛАЧХ безынерционного интегрирующего звена (или интегрирующих звеньев, если их несколько), а затем к нему последовательно пристраивать графики ЛАЧХ остальных звеньев. Причем очередность сложения графиков определяется постоянными времени имеющихся звеньев Ti . Графики упорядочиваются по убыванию

Ti или, что то же самое, по возрастанию сопрягающих частот ωci =1/Ti .

Пример. Разомкнутая система состоит из четырех типовых звеньев, включенных последовательно, а именно, интегрирующего, дифференцирующего звена первого порядка и двух апериодических звеньев. Для простоты изложения примем, что коэффициенты усиления всех звеньев равны единице.

Передаточная функция системы:

Путь Tb > Ta > Tc , тогда имеем ряд сопрягающих частот, которые для удобства дальнейшего использования обозначим следующим образом:

причем ωc1 < ωc2 < ωc3 .

На рис.2.62 показаны ЛАЧХ четырех звеньев, составляющих систему. Они приведены в порядке возрастания сопрягающих частот. Эти четыре графика легко сложить последовательно в порядке, приведенном на рисунке. Сначала ЛАЧХ интегрирующего звена складывается с ЛАЧХ первого апериодического звена, после

чего к полученному результату добавляется ЛАЧХ дифференцирующего звена первого порядка и, наконец, прибавляется ЛАЧХ второго апериодического звена.

77

LmH(ω)

−20 дБ/дек

lg(ω)

ω

−20 дБ/дек

LmH(ω)

−40 дБ/дек

−20 дБ/дек −40дБ/дек

Рис.2.62. Графики ЛАЧХ отдельных звеньев, упорядоченных по возрастанию ωci, и

график результирующей ЛАЧХ

Можно видеть, что до частоты ωc1 ЛАЧХ сложной системы, включающей четыре звена, определяется только ЛАЧХ интегрирующего звена, имеющей наклон –20 дБ/дек (ЛАЧХ всех остальных звеньев до частоты ωc1 имеют нулевые значения).

В диапазоне частот ωc1 − ωc2 следует учитывать ненулевые значения только ЛАЧХ

интегрирующего и апериодического звеньев. Результат их сложения в указанном диапазоне дает прямую линию с наклоном –40 дБ/дек.

В следующем диапазоне ωc2 − ωc3 нужно добавить ЛАЧХ дифференцирующего

звена первого порядка. Для чего необходимо сложить ранее полученный график с ЛАЧХ дифференцирующего звена первого порядка и т.д. В результате получается линия, имеющая наклон –40 дБ/дек + 20 дБ/дек = –20 дБ/дек.

78

Наконец, в интервале ωc3 − ωc4 наклон изменяется на величину –20 дБ/дек из-за

появления высокочастотной асимптоты второго апериодического звена и составляет – 40 дБ/дек.

Разумеется, вид ЛАЧХ сложной системы не зависит от последовательности сложения графиков. Однако добавление (пристраивание) графиков по мере возрастания сопрягающих частот ωi =1/Ti является удобным упрощением операции

построения общей ЛАЧХ сложной САУ и позволяет оценить влияние соответствующих звеньев. На практике ЛАЧХ цепочки звеньев строится сразу без построения ЛАЧХ отдельных звеньев.

Опишем методику построения ЛАЧХ системы, включающей несколько звеньев. 1. Определяются сопрягающие частоты ωi =1/Ti , где Ti - постоянные времени

звеньев.

2. На ось абсцисс наносятся значения сопрягающих частот. Напомним, что для удобства дальнейших исследований целесообразно указывать наряду с lg ω

непосредственно значения ω .

3. Определяется исходная точка ЛАЧХ, относительно которой строится ЛАЧХ системы. Ее координаты: по оси абсцисс ω = 1 (lg(1) = 0) , по оси ординат 20lgk , где k - коэффициент усиления системы.

4.Через найденную точку проводится первая асимптота с наклоном –20(q – r) дБ/дек, где q - число интегрирующих; r - число идеальных дифференцирующих звеньев. Первая асимптота продолжается до наименьшей сопрягающей частоты.

5.После каждой из сопрягающих частот ωi =1/Ti изменяется наклон ЛАЧХ по

сравнению с тем, который она имела до сопрягающей частоты:

∙на –20 или –40 дБ/дек соответственно для апериодического или колебательного

звена;

∙на +20 или +40 дБ/дек соответственно для дифференцирующих звеньев первого

ивторого порядков.

6. При необходимости проводится уточнение ЛАЧХ путем введения поправок в построенные графики, что особенно важно для колебательных звеньев и дифференцирующих звеньев второго порядка вблизи частот ωi =1/Ti .

7. По завершении построения ЛАЧХ системы выполняется проверка. Высокочастотная асимптота ЛАЧХ (участок ЛАЧХ на частотах выше наибольшей из сопрягающих частот) должна иметь наклон

–20(n – m) дБ/дек, где n - порядок полинома знаменателя передаточной функции W(s); m - порядок полинома числителя.

ЛФЧХ сложной САУ может быть построена сложением ЛФЧХ ее отдельных звеньев. Однако, как и для ЛАЧХ, удобнее воспользоваться методом ускоренного построения ЛФЧХ. Суть метода состоит в том, что фазовая характеристика системы

строится путем последовательного прибавления фазовых характеристик менее инерционных звеньев. При этом характеристика каждого последующего типового звена располагается не относительно оси абсцисс, а в полосе, ограниченной с одной стороны значением фазы, к которой стремится суммарная фазовая характеристика ранее построенной совокупности звеньев, а с другой стороны - значением фазы, к которой будет стремиться суммарная фазовая характеристика с учетом прибавляемого звена.

При таком методе существенно облегчается построение суммарной фазовой характеристики, так как она на отдельных участках почти повторяет предыдущую и последующую фазовые характеристики.

Используем этот метод для построения ЛФЧХ системы вышеприведенного примера. Предварительно строим ЛФЧХ интегрирующего звена, для чего проводим горизонтальную линию на уровне −π / 2 рад. Далее в полосе ( −π / 2 ; −π ) строим ЛФЧХ апериодического звена, имеющего сопрягающую частоту ωc1 (график 2 на рис.2.63).

79

Рис.2.63. К пояснению метода ускоренного построения ЛФЧХ сложной системы: 1 - ЛФЧХ дифференцирующего звена первого порядка, построенная относительно уровня 0 рад; 2 - суммарная ЛФЧХ интегрирующего и апериодического звеньев; 3 - ЛФЧХ дифференцирующего звена первого порядка, перенесенная в

полосу (–π/2; –π); 4 - суммарная ЛФЧХ системы после

добавления ЛФЧХ дифференцирующего звена первого порядка

Из графика видно, что на высоких частотах (при ω → ∞ ) интегрирующее и

апериодическое звенья в совокупности дают фазовый сдвиг, равный −π рад, а на низких частотах (при ω → 0 )

интегрирующее и апериодическое звенья в совокупности дают фазовый сдвиг, равный −π / 2 рад; на высоких частотах (при ω → ∞ ) фазовый сдвиг составляет −π рад.

Затем учитываем дифференцирующее звено первого порядка с сопрягающей частотой ωc2 . ЛФЧХ этого звена будет лежать в следующих границах:

∙−π рад (предельное значение ЛФЧХ при ω → ∞ для ранее построенных

звеньев);

∙−π / 2 (предельное значение, к которому стремится ЛФЧХ после добавления дифференцирующего звена первого порядка при ω → ∞ ).

ЛФЧХ системы, включающей интегрирующее, первое апериодическое и дифференцирующее звено первого порядка, дополняем ЛФЧХ второго

апериодического звена: его график строим по аналогии в диапазоне ( −π / 2 ; −π ) рад и складываем с ранее построенной ЛФЧХ.

После построения ЛФЧХ всей системы рекомендуется выполнить проверку. Предельное значение ϕ(ω) цепочки звеньев, получаемое при ω → ∞ , должно равняться

−(π/ 2)(n − m) , где n - порядок полинома знаменателя передаточной функции W (s) ; m - порядок полинома ее числителя.

80