Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям Ржавинская Белякова Жаркова

непрерывные частные производные по всем аргументам до порядка n – 1 включительно. Подставляем Y(t) в (4.6), получим n тождеств:

в частности,

83

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Обозначим

Систему (4.14) можно рассматривать как систему, неявно задающую функции y2(t), y3(t), …, yn(t). Предположив, что в рассматриваемой области якобиан

D( f1, F2, F3,..., Fn−1) ¹ 0 , систему (4.14) можем разрешить относительно y2, y3, …, yn, выра-

D( y2, y3,..., yn )

получим дифференциальное уравнение порядка n относительно y1(t):

Справедливо следующее утверждение, которое мы приводим без доказательства.

Теорема 4.2. Пусть дана система дифференциальных уравнений

Функции fi (t, y1,..., yn ) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой области

G :t0 - a £ t £ t0 + a; yi0 - bi £ y £ yi0 + bi , i =1,..., n ;

J = D( f1, F2 , F3,..., Fn−1) ¹ 0 в области G.

D(y2 , y3,..., yn )

Тогда следствием системы (4.16) является уравнение

84

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Обратное утверждение. По любому решению y1(t) уравнения (4.17) можно подобрать

4.3. Системы линейных дифференциальных уравнений

Определение 4.2. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если уравнения системы линейны относительно всех компонент неизвестной вектор- функции и их производных, т.е. имеют вид

j=1

Обозначим

Тогда систему (4.18) можно записать кратно в матричном виде

85

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

темой линейных однородных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим сначала систему линейных однородных дифференциальных уравнений.

dt

Утверждение. L - линейный оператор.

В самом деле, пусть

Имеем

Привлекая свойства производных, а также свойство дистрибутивности умножения матриц, приходим к равенству:

= L[Y1] + L[Y2 ] .

Пусть λ - произвольное действительное число, Y (t)ÎC[(a1), b] .

86

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рассмотрим L[λY ] .

Используя свойства производных, имеем:

Откуда заключаем, что L - линейный оператор.

Используя введенные обозначения, систему (4.20) запишем в следующем виде:

Теорема 4.3. Пусть Y1(t), Y2(t), …, Yk (t) - решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений L[Y ] = 0. Тогда при любых λ1, λ2, …, λk вектор-функция Y(t) = λ1Y1(t) + λ2Y2(t) + … + λkYk(t) является решением системы L[Y ] = 0.

Доказательство. Рассмотрим L[Y ] = L[λ1Y1(t) + λ2Y2(t) +…+ λkYk(t)].

Далее, так как Y1(t), Y2(t), …, Yk(t) - решения системы (4.21), L[Y1] = 0, L[Y2] = 0,…, L[Yk] = 0, и, таким образом, L[Y ] = 0 Þ Y(t) = λ1Y1(t) + + λ2Y2(t) +…+ λkYk(t) - решение системы

(4.21).

Итак, любая линейная комбинация решений системы линейных однородных дифференциальных уравнений является решением этой системы.

Теорема 4.4. Если система линейных однородных дифференциальных уравнений (4.21) с действительными коэффициентами aij(t) имеет решением комплекснозначную векторфункцию Y(t) = U(t) + i V(t), то U(t) и V(t) - решения системы (4.21).

Доказательство слово в слово повторяет доказательство аналогичного утверждения для одного дифференциального уравнения порядка n и мы его опустим.

Определение 4.4. Система вектор-функций Y1(t), Y2(t), …, Yk(t) называется линейно зависимой на отрезке [a, b], если найдутся такие числа α1,…, αk, не все равные нулю одновременно, что "t Î[a, b]

a1Y1(t) + ... + akYk (t) = 0 .

87

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Система вектор-функций Y1(t), Y2(t), …, Yk(t) называется линейно независимой на отрезке [a, b], если из равенства

a1Y1(t) + ...+ akYk (t) = 0

следует, что α1 = … = αk = 0.

Приведем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 4.5 (о структуре общего решения системы линейных однородных диффе-

ренциальных уравнений). Пусть дана система линейных однородных дифференциальных уравнений

где A = ||ai j (t)||, i, j =1,K,n , функции ai j (t) непрерывны на отрезке [a, b], и пусть Y1(t), Y2(t),

…, Yn(t) - линейно независимые на отрезке [a, b] решения системы (4.22).

Тогда общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4.22) имеет вид

Yобщ = С1Y1(t) +K+ СnYn (t) ,

где С1, …, Сn - произвольные действительные числа.

Пример 4.3.

Вектор-функции Y1(t) и Y2(t) - линейно независимы на любом отрезке [a, b]. В самом деле, пусть λ1 Y1(t) + λ2 Y2(t) = θ, или

88

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Определитель системы линейных однородных алгебраических уравнений (4.24)

0 и вектор-функции Y1(t) и Y2(t) линейно независимы на любом отрезке [a, b]. Тогда по теореме 4.5 общее решение системы (4.23)

Определение 4.5. Любые n линейно независимых частных решений системы линей-

ных однородных дифференциальных уравнений называются фундаментальной системой решений.

решений системы дифференциальных уравнений (4.23).

4.4. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

где A = ||ai j ||, i, j =1,K,n , aij - действительные числа.

Так как постоянные aij непрерывные на любом отрезке [a, b] функции, то применима сформулированная выше теорема 4.5.

Частные решения системы (4.25), составляющие фундаментальную систему решений, ищем в виде

æ a1 ö

= ç ÷ kt . (4.26)

Y (t) ç L÷e

çèan ÷ø

Подставляем (4.26) в систему уравнений (4.25)

89

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

или

Система (4.27) - система n линейных однородных алгебраических уравнений относи-

тельно α1, …, αn. Она имеет нетривиальные решения, если

Уравнение (4.28) называется характеристическим уравнением для системы дифференциальных уравнений (4.25), а его корни - характеристическими корнями системы

(4.25).

Случай 1. Характеристические корни действительны и различны, тогда их ровно n. Пусть это числа k1, …, kn. Подставляя ki, i = 1, …, n в (4.27), находим соответствующие

Так как система функций ek1t ,ek2t ,...,eknt линейно независима на любом отрезке [a, b], из равенств (4.29) следует n2 равенств

90

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

0. Тогда система вектор-функций Y1, ..., Yn линейно независима на любом отрезке [a, b].

решений системы дифференциальных уравнений (4.25). Тогда по приведенной теореме 4.5 общее решение системы уравнений (4.25) имеет вид

Пример 4.4. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений

Решение. Записываем соответствующее характеристическое уравнение

Или

k2 – 7k = 0.

Его корни: k1 = 0, k2 = 7. Частные решения ищем в виде

91

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Итак, общее решение системы (4.31)

Случай 2. Среди характеристических корней есть комплексные. Так как коэффициенты в системе уравнений (4.25), а следовательно, и в уравнении (4.28) действительные числа, комплексные корни входят сопряженными парами.

Пусть k1 = α + iβ и k2 = α – iβ являются корнями характеристического уравнения (4.28).

æ a1 ö

В этом случае вместо комплекснозначных вектор-функций Y = ç... ÷e(α+iβ)t и

1 ç ÷ çèan ÷ø

Тогда по теореме 4.5 общее решение системы уравнений (4.25) имеет вид

Пример 4.5. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение:

или

k2 - 4k - 5 = 0 Þ k1,2 = 2 ± i .

Частные решения ищем в виде

92

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com