Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям Ржавинская Белякова Жаркова

уравнения (1.39) y ≡ 0 (C3 = 0) имеют общую касательную в точке O(0, 0) (рис.1.6).

Далеко не всегда уравнение (1.35) легко разрешить относительно y′ и еще реже полу-

ченные уравнения удается легко проинтегрировать, поэтому интегрировать уравнение вида (1.35) приходится также иными методами.

23

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Возьмем полный дифференциал от обеих частей (1.41) и заменим dy на p dx, интегрируем и находим x = φ(p, c). Семейство решений исходного уравнения (1.40) находим в параметрической форме

Ищем потерянные решения.

Делили на p, p = y' Þ y′ = 0 Þ y = C1 .

Уравнению (1.42) удовлетворяют функции y = C1 только при C1 = 0: y ≡ 0. Все решения уравнения (1.42) задаются равенствами

Решение y ≡ 0 входит в семейство (1.43) при p = 0.

Уравнение вида x = f (y, y') интегрируется тем же способом.

24

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Глава 2. Метрические пространства

2.1. Аксиоматическое определение метрического пространства

Определение 2.1. Пусть X - произвольное множество, x X , "y Î X задана одно-

значная действительная неотрицательная функция r(x, y) (каждой паре (x, y) поставле-

но в соответствие действительное число r(x, y) ), удовлетворяющая трем аксиомам:

1)r(x, y) = 0 Û x = y ;

2)r(x, y) = r( y, x) ;

3)r(x, z) £ r(x, y) + r( y, z) .

Пара (X , r) называется метрическим пространством, а элементы X - точками мет-

рического пространства.

Пример 2.1. X - множество действительных чисел. Расстояние между двумя действительными числами определено равенством

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Аксиомы 1 и 2, очевидно, выполняются.

Аксиома 3.

Случай 1. x = y = z. Имеем

ìr(x, y) = 0

ïír(x, z) = 0 Þ r(x, z) = r(x, y) = r(y, z)

ïîr( y, z) = 0

и r(x, z) = r(x, y) + r( y, z) .

Случай 2. x ¹ y, y = z Þ x ¹ z . По определению ρ

ìr(x, y) = 1

ïír(x, z) =1 Þ r(x, z) = 1 = r(x, y) + r(y, z) .

ïîr(y, z) = 0

Случай 3. y ¹ z, x = y (x ¹ z) . По определению ρ

ìr(x, y) = 0

ïír(x, z) = 1 Þ r(x, z) = 1 = r(x, y) + r(y, z) = 0 +1 = 1.

ïîr(y, z) = 1

Случай 4. x ¹ y, y ¹ z, x ¹ z .Тогда

ìr(x, y) = 1

ïír(x, z) = 1 Þ r(x, z) = 1 £ r(x, y) + r( y, z) .

ïîr(y, z) =1

Аксиома 3 выполняется во всех четырех случаях. Отсюда следует, что (X , r) - метри-

ческое пространство. Оно называется пространством изолированных точек.

Пример 2.3. X - множество Rn всех упорядоченных наборов n действительных чисел:

x = (x1,K, xn ) .

26

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Аксиома 1 выполняется. Аксиома 2.

Следовательно, аксиома 2 выполняется. Проверим выполнение аксиомы 3. Имеем

r0 (x, z) = max | xk - zk |.

1≤k≤n

Но так как для любого z = (z1, …, zn)

| xk - zk | = | xk - yk + yk - zk | £ | xk - yk | + | yk - zk | ,

то, взяв max от обеих частей последнего неравенства, получим:

1≤k≤n

= r0 (x, y) + r0 (y, z) .

Аксиома 3 справедлива, (X , r0 ) - метрическое пространство. Оно называется метри-

ческим пространством кортежей.

Пример 2.4. X - множество всех упорядоченных наборов n действительных чисел x = (x1,K, xn ) .

n

Полагаем, что r1(x, y) = å| xk - yk | .

k =1

Аксиома 1.

n

r1(x, y) = 0 Þ å| xk - yk | = 0 Þ

k=1

Þ"k, k = 1,K,n | xk - yk |= 0 и x = y .

Обратно.

Пусть x = y . Тогда

n

"k xk = yk Þ | xk - yk |= 0 Þ å| xk - yk | = 0 и r1(x, y) = 0 .

k =1

Аксиома 1 справедлива. Аксиома 2.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Аксиома 2 выполняется. Аксиома 3.

Аксиома 3 выполняется. Следовательно, (X , r1) - метрическое пространство.

Замечание. Примеры 2.3 и 2.4 показывают, что один и тот же набор точек можно превратить в метрическое пространство разными способами (задав иначе расстояние - “метрику”).

Пример 2.5. X - множество всех непрерывных на отрезке [a, b] функций.

Полагаем r( f (x), g(x)) = max | f (x) - g(x) | .

a≤x≤b

Аксиома 1.

r( f , g) = 0 Þ max | f (x) - g(x) |= 0 .

a≤x≤b

По теореме Вейерштрасса

x0 [a,b] max | f (x) − g(x) |=| f (x0 ) − g(x0 ) | Þ

a≤x≤b

Þ x [a,b] | f (x) − g(x) | ≤ | f (x0 ) − g(x0 ) |= 0 Þ

Þ x [a,b] f (x) = g(x) .

Докажем обратное утверждение. Пусть f (x) = g(y) на отрезке [a, b] Þ

Þ x [a, b] | f (x) − g(x) |= 0

и, следовательно, r( f (x), g(x)) = max | f (x) - g(x) |= 0 .

a≤x≤b

Аксиома 1 справедлива.

Аксиома 2.

r( f (x), g(x)) = max | f (x) - g(x) |=

a≤x≤b

= max | g(x) − f (x) |= ρ(g(x), f (x)) .

a≤x≤b

Аксиома 2 выполняется.

Аксиома 3.

Пусть h(x) - непрерывная на отрезке [a, b] функция. По определению

28

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ρ( f (x), h(x)) = max | f (x) − h(x) |.

a≤x≤b

По теореме Вейерштрасса

x0 [a, b] max | f (x) - h(x) | = | f (x0 ) - h(x0 ) | ;

a≤x≤b

r( f (x), h(x)) = | f (x0 ) - h(x0 ) | = | f (x0 ) - g(x0 ) + g(x0 ) - h(x0 ) |£ £| f (x0 ) - g(x0 ) | + | g(x0 ) - h(x0 ) |£

= ρ( f (x), g(x)) + ρ(g(x), h(x)) .

Таким образом, и аксиома 3 справедлива и (X , ρ) - метрическое пространство. Его обозначают C[a, b].

Упражнение 2.2. X - множество всех непрерывных на отрезке [a, b] функций. Положим

b

r1( f (x), g(x)) = ò| f (x) - g(x) | dx .

a

Показать, что (X , r1) - метрическое пространство.

Докажем некоторые вспомогательные неравенства, которые дадут возможность расширить множество примеров метрических пространств.

Лемма 2.1. Пусть

u > 0 , v > 0 , p > 1, q сопряжено с p (т.е. 1p + 1q = 1),

тогда

Доказательство. Рассмотрим функцию y = xα , α > 0 .

При x > 0 y'(x) = axα−1 > 0 , т.е. y(x) монотонно возрастает, и по теореме об обратной

1

функции $ x = y α .

Далее имеем

y''(x) = a(a -1)xα−2 и ìy"> 0, при a >1,

íîy"< 0, при a <1

29

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Доказательство. Неравенство (2.3) однородно, т.е., если (2.3) выполняется для a и b, то λ μ - действительных чисел, оно выполняется для λ a и μ b.

В самом деле, λ a = (λ a1,…, λ an), μ b = (μ b1,…, μ bn). Пусть (2.3) справедливо для a и b.

Имеем

и неравенство (2.3) справедливо для λ a и μ b.

Следовательно, достаточно доказать (2.3) для a и b таких, что

и для случая, когда выполняется (2.4), неравенство (2.3) справедливо. Лемма 22 доказана. При p = 2 получаем

31

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Напоминание. Линейное пространство V = Rn превращается в евклидово, если задать скалярное произведение, например, как сумму попарных произведений одноименных

n

компонент (x, y) = å(xi × yi ) , и в нормированное, если положить || x ||= (x, x) .

i=1

Вкурсе линейной алгебры было доказано неравенство Коши - Буняковского

зывается n-мерным арифметическим евклидовым пространством Rn.

Лемма 2.3 (неравенство Гёльдера для интегралов). Пусть p > 1, q сопряжено с p,

функции f(x) и g(x) таковы, что существуют интегралы

b b

I1 = ò| f (x) |p dx и I2 = ò| g(x) |q dx и I1 ¹ 0 , I2 ¹ 0 .

a a

32

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com