- •§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (кп).
- •§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия). Уравнения движения
- •§4. Функция Лагранжа и её свойства.
- •§5*. Правило суммирования Эйнштейна.
- •[§6.] Функция Лагранжа простейших систем.
- •§7. Интегралы движения в методе Лагранжа.
- •[§8.] Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.
- •1.Для замкнутой системы реализуется принцип однородности времени.
- •2.Однородность пространства.
- •3. Изотропность пространства.
- •§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной.
- •§10. Особенности движения частицы в центральном поле.
- •§11. Одномерный эффективный потенциал.
- •§12. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона. Канонически сопряженные велечины.
- •§13. Фазовое пространство.
- •§14. Функция Гамильтона и её свойства.
- •[§15.] Функция Гамильтона простейших систем.
- •§16. Интегралы движения в методе Гамильтона.
- •[§17.] Скобки Пуассона и их свойства.
- •§18. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
- •[§19.] Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- •§20*. Колебания с n степенями свободы. Дисперсионное уравнение. Примеры 1-3.
- •§21. Оператор .
- •[§22.] Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
- •[§23.] Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
- •[§24.] Градиентная инвариантность.
- •§25*. -Функция.
- •§26. Объёмная плотность точечного заряда.
- •§27. Закон сохранения заряда.
- •§28. Типы калибровок. Уравнения Даламбера для потенциалов
- •§29. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии. Переход от микро к макро
- •§30.* Теорема Стокса.
- •§31*. Функциональные соотношения различных полей
- •§32*. Условия на границе раздела двух сред.
- •§33. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
- •§34. Приближение линейного тока
- •[§35.]Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.
- •§36. Условия квазистационарности поля.
- •[§37.] Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля.
- •[§38.]Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме.
- •[§39.] Волновое уравнение в случае вакуума.
- •§40*. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.
- •[§41.] Плоская монохроматическая волна.
- •§42. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.
- •§43. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам.
- •§44. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение.
Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет).
А.Г.Фокин
Теоретическая механика и теория поля
(конспект лекций для ЭКТ-2)
2010г.
[
[§1.] Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы.
Пусть число степеней свободы равно . Для задания пространственного положения системы необходимы координаты.
– размерность пространства.
– число материальных точек.
числу координат, с помощью которых можно задать положение материальных точек.
– радиус вектор а-той точки.
Если имеются связи, т.е. ограничения, накладываемые на движение системы, причём выраженные в форме уравнений, содержащих эти координаты, то число независимых координат будет меньше на число этих связей.
- все радиус векторы.
, , где k – число связей.
Такие связи называются голономными. Если присутствует время (t) в уравнениях, то связи – нестационарные.
Для вычисления числа степеней свободы можем записать формулу:
Любые независимые переменные, полностью определяющие пространственное положение системы, называются обобщёнными координатами.
Виды координат:
Сферические .
Декартовы .
И другие.
Графическое пояснение:
Вывод данных формул элементарен по Рис.1
- i-тая компонента.
Рассмотрим пример:
Дан математический маятник (Рис.2).
- это n-мерный вектор. Здесь n=1, и уравнения связи имеют вид:
где .
- уравнение связи.
Определим число степеней свободы:
Тогда число степеней свободы равно единице.
§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (кп).
КП – это n – мерное пространство обобщенных координат.
- радиус вектор в D-пространстве.
Реальному пространству ставим в соответствие КП
→
КП – служит для технического упрощения решения задач. Одна точка в КП изображает положение системы N материальных точек в реальном D-мерном пространстве.
Система материальных точек находится во внешнем поле, и они могут взаимодействовать между собой, поэтому движутся по каким-то траекториям. Изменение реальных координат приводит к изменению обобщенных координат. Движение реальных точек приводит к движению изображающей точки. Таким образом, эволюция системы (движение точек в реальном пространстве) описывается движением изображающей точки в КП. В результате в КП получаем траекторию.
Говоря о траектории системы, будем иметь в виду траекторию изображающей точки в КП.
Эволюция системы – это движение в реальном пространстве реальных точек по реальным траекториям.
--тая обобщённая координата, .
Итак, имеется траектория в КП. Проведём касательный вектор - обобщенная скорость.
Чтобы описать движение системы надо знать положение точки в любой момент времени – закон движения:
Найти такую зависимость можно из закона Ньютона:
(2.1)
Решением этого уравнения будет некоторый закон движения .
Уравнение (2.1) – дифференциальное уравнение второго порядка, следовательно необходимо два начальных условия:
(2.2)
Уравнений должно быть столько, сколько степеней свободы.
Переменные вида (2.2) называются динамическими переменными – это координаты и скорости в данный момент времени. и - также динамические переменные. Зная и мы задаём механическое состояние системы в начальный момент времени.
Зная все силы, действующие на рассматриваемую систему, можно построить траекторию движения, если при этом решить уравнение движения.
§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия). Уравнения движения
Пусть - вариация координаты (произвольное изменение координаты в данный момент времени). Будем рассматривать бесконечно малые , следовательно, 2-я возможная траектория будет в непосредственной близости от 1-ой. Возможная траектория – траектория, которая может получиться при данных взаимодействиях. Возможных траекторий много, реальных – одна. В начальной и конечной точке траектории вариации координат равны нулю:
, т.е. и коммутативны:
Будем искать первую вариацию (линейную вариацию по вариацию аргумента).
Введём функционал:
- функция Лагранжа, функция динамических переменных и времени.
Принцип наименьшего действия:
Из всех возможных траекторий, между данными точками, механической системы в конфигурационном пространстве реализуется та, для которой первая вариация действия равна нулю:
Найдём :
Тогда:
Первое слагаемое в правой части данного выражения равно нулю, тогда остаётся:
Координаты независимы, вариации этих координат так же независимы. Условие независимости означает, что все коэффициенты при равны нулю. В результате получаем:
,
Мы получили уравнения движения Лагранжа. Это дифференциальные уравнения второго порядка, что бы их решить, нужны начальные условия: и . В результате получим закон движения