- •§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (кп).
- •§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия). Уравнения движения
- •§4. Функция Лагранжа и её свойства.
- •§5*. Правило суммирования Эйнштейна.
- •[§6.] Функция Лагранжа простейших систем.
- •§7. Интегралы движения в методе Лагранжа.
- •[§8.] Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения.
- •1.Для замкнутой системы реализуется принцип однородности времени.
- •2.Однородность пространства.
- •3. Изотропность пространства.
- •§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной.
- •§10. Особенности движения частицы в центральном поле.
- •§11. Одномерный эффективный потенциал.
- •§12. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона. Канонически сопряженные велечины.
- •§13. Фазовое пространство.
- •§14. Функция Гамильтона и её свойства.
- •[§15.] Функция Гамильтона простейших систем.
- •§16. Интегралы движения в методе Гамильтона.
- •[§17.] Скобки Пуассона и их свойства.
- •§18. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
- •[§19.] Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- •§20*. Колебания с n степенями свободы. Дисперсионное уравнение. Примеры 1-3.
- •§21. Оператор .
- •[§22.] Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
- •[§23.] Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
- •[§24.] Градиентная инвариантность.
- •§25*. -Функция.
- •§26. Объёмная плотность точечного заряда.
- •§27. Закон сохранения заряда.
- •§28. Типы калибровок. Уравнения Даламбера для потенциалов
- •§29. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии. Переход от микро к макро
- •§30.* Теорема Стокса.
- •§31*. Функциональные соотношения различных полей
- •§32*. Условия на границе раздела двух сред.
- •§33. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
- •§34. Приближение линейного тока
- •[§35.]Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля.
- •§36. Условия квазистационарности поля.
- •[§37.] Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля.
- •[§38.]Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме.
- •[§39.] Волновое уравнение в случае вакуума.
- •§40*. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме.
- •[§41.] Плоская монохроматическая волна.
- •§42. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме.
- •§43. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам.
- •§44. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля»
- •Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение.
§21. Оператор .
Оператор набла – векторный дифференциальный оператор. Оператор набла можно ввести по-другому:
Часто знак суммы опускают (правило суммирования Эйнштейна).
Запишем условие ортонормированности рассматриваемого базиса:
Действия оператора набла:
-
Оператор набла действует на скалярную функцию F:
или
-
Оператор набла скалярно действует на векторную функцию :
-
Оператор набла векторно умножается на векторную функцию :
Кроме векторного и скалярного, есть ещё смешенное произведение векторов:
- объем параллелепипеда.
- единичный антисимметричный тензор третьего ранга.
§У. 6. Задачи 12, 13
12. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.
Решение.
13. Вычислить где p – постоянный вектор.
Решение.
[§22.] Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
Будем использовать гауссову систему единиц.
и являются источниками поля. Уравнения Максвелла позволяют по заданным источникам рассчитать электромагнитное поле. Уравнениям Максвелла в дифференциальной форме ставятся в соответствие уравнения в интегральной форме.
[§23.] Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
Удобно ввести:
-векторный потенциал
-скалярный потенциал
однозначно определяют электромагнитное поле
[§24.] Градиентная инвариантность.
Существует преобразование, которое не меняет полевых характеристик . Таким преобразованием является градиентное:
Здесь – произвольная функция координат и времени
-инвариантность полевых характеристик
относительно градиентных преобразований.
Аналогично для :
На потенциалы могут быть наложены произвольные, удобные для исследования ограничения – калибровки потенциалов, т.к. - произвольная.
§25*. -Функция.
Пусть имеется функция Хевисайда:
Ясно, что кроме , производная везде равна нулю. Рассчитаем интеграл:
, ,
Рассмотрим этот же случай, но картинка смещена на :
Интегральное одномерное соотношение:
Существует множество способов моделирования подобных функций.
Если , то (3) это :
Рассмотрим простейший случай.
- площадь под графиком функции:
Делим пополам.
И так далее до бесконечности. Это одна из простейших моделей -функции.
§26. Объёмная плотность точечного заряда.
Рассмотрим систему из точеченого заряда
Здесь возникает необходимость использовать -функцию.
Тогда:
Это соответствует случаю, когда заряд помещён в начало координат, а плотность заряда ищется в точке, с радиус-вектором .
Если же заряд помещён не в начало отсчёта, то плотность заряда перепишется в следующем виде:
В случае системы точечных зарядов имеем:
Для изображения плотности точечного источника всегда используется -функция.