4. Энергия в электростатике.
4.1. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов.
По определению потенциальной энергии,
работа электрической силы, действующей
на точечный заряд
со
стороны покоящегося точечного заряда
при медленном переносе
из позиции 1 в позицию 2 равна убыли
потенциальной энергии взаимодействия
этих зарядов.
.
Убыль из
Приращение из
.
В пункте 2.1. было показано, что
,
поэтому формулу можно переписать
При условии нормировки энергии (
при
)
получим, что
-
потенциальная энергия взаимодействия
двух точечных зарядов, расположенных
на расстоянии
друг от друга, равна работе электрических
сил при медленном увеличении расстояния
между зарядами от
до
или
равна работе приложенной нами силы при
медленном сближении зарядов из
до
.
В соответствии с определением потенциала
для точечного источника
из 2.7.
выражение
для энергии взаимодействия точечного
заряда
с внешним полем принимает вид
.
–
потенциал, созданный зарядом
,
в той точке, куда мы поместили заряд
.
Эта формула позволяет вычислить
потенциальную энергию взаимодействия
заряда
с чужим полем.
4.2. Энергия взаимодействия системы из точечных зарядов.
Найдем энергию взаимодействия друг
с другом системы из
точечных зарядов как сумму энергий
парных взаимодействий зарядов
и
,
находящихся на расстоянии
друг
от друга. Запишем сумму таких взаимодействий
с точностью до некоторого отсутствующего
множителя.
-сумма
энергий взаимодействия 1го заряда с
остальными,
сумма энергий взаимодействия 2го заряда
с остальными,
………………………….
сумма энергий взаимодействия n-го
заряда с остальными.
Учтем, что
,
то есть мы перестарались – слагаемых
здесь в два раза больше, чем нужно. Кроме
того, учтем коэффициент:
,
где
-
потенциал, созданный всеми зарядами,
кроме
,
в точке расположения
го
заряда.
(1) – энергия взаимодействия зарядов
друг с другом.
4.3. Полная электростатическая энергия заряженного тела.
Если заряд распределен по телу непрерывно
с объемной плотностью
или поверхностной плотностью
,
то выражение для энергии (1) допускает
обобщение (мы рассматривали дискретное
множество зарядов, а теперь размажем
заряд непрерывно по телу):
(2)
(3)
В формуле (1) не учтена работа внешних
сил по формированию зарядов
из
бесконечно малых зарядов
,
а в (2) и (3) учтена, поэтому последние 2
формулы описывают полную электростатическую
энергию заряженного тела.
Полную энергию можно интерпретировать как ту минимальную работу, которую мы должны совершить, если мы из бесконечно маленьких зарядиков расположенных на бесконечности друг от друга, так что они не взаимодействуют друг с другом, соберем какую-то пространственную конфигурацию в какой-то точке пространства.
4.4. О локализации электростатической энергии.
П
окажем,
что формула (3) может быть представлена
в виде
.
Рассмотрим однородно по поверхности
заряженную сферу. Уменьшим ее радиус
на
,
очевидно, что
.
При этом энергия сферы
.
При вычислениях мы учли нормировку потенциала на бесконечность.
Причем очевидно, что объемная плотность
энергии равна
.
Приходим к выводу, что в электростатике энергию заряженного тела можно найти как по (2) и (3), так и по (4). При этом в первом случае естественно считать, что энергия локализована там, где расположен заряд, а в (4) там, где есть поле.
Выяснить, где именно, в заряде или в поле, локализована энергия электростатика не позволяет, но мы знаем об электромагнитных волнах, которые способны переносить энергию в пустом пространстве, где нет зарядов, изучив закон, которому подчиняется переменное электромагнитное поле, мы увидим, что (4) справедлива всегда, а (2) и (3) - только в электростатике.