Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет).

А.Г.Фокин

Теоретическая механика и теория поля

(конспект лекций для ЭКТ-2)

2010г.

[

[§1.] Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы. 3

§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (КП). 4

§3. Принцип Гамильтона (наименьшего действия). 5

Уравнения движения 5

§4. Функция Лагранжа и её свойства. 6

§5*. Правило суммирования Эйнштейна. 6

[§6.] Функция Лагранжа простейших систем. 7

§7. Интегралы движения в методе Лагранжа. 10

[§8.] Свойства симметрии пространства и времени. Законы сохранения. 10

§9. Задача двух тел и сведение её к эквивалентной одномерной. 12

§10. Особенности движения частицы в центральном поле. 13

§11. Одномерный эффективный потенциал. 15

§12. Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона. Канонически сопряженные велечины. 15

§13. Фазовое пространство. 17

§14. Функция Гамильтона и её свойства. 17

[§15.] Функция Гамильтона простейших систем. 17

§16. Интегралы движения в методе Гамильтона. 19

[§17.] Скобки Пуассона и их свойства. 19

§18. Малые колебания и свойства потенциальной энергии. 22

[§19.] Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение. 23

§20*. Колебания с n степенями свободы. Дисперсионное уравнение. Примеры 1-3. 25

§21. Оператор . 32

Решение. 33

[§22.] Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме. 33

[§23.] Потенциалы электромагнитного поля в вакууме. 33

[§24.] Градиентная инвариантность. 33

§25*. -функция. 34

§26. Объёмная плотность точечного заряда. 35

§27. Закон сохранения заряда. 36

§28. Типы калибровок. Уравнения Даламбера для потенциалов 36

§29. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии. Переход от микро к макро 38

§30.* Теорема Стокса. 40

§31*. Функциональные соотношения различных полей 40

§32*. Условия на границе раздела двух сред. 42

§33. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде. 45

§34. Приближение линейного тока 47

[§35.]Уравнения Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля. 48

§36. Условия квазистационарности поля. 49

[§37.] Глубина проникновения квазистационарного электромагнитного поля. 50

[§38.]Уравнения Максвелла для электромагнитных волн в вакууме. 51

[§39.] Волновое уравнение в случае вакуума. 51

§40*. Решение волнового уравнения в случае плоской электромагнитной волны в вакууме. 52

[§41.] Плоская монохроматическая волна. 54

§42. Уравнения Максвелла в случае плоской монохроматической волны в вакууме. 54

§43. Разложение электромагнитных полей по плоским монохроматическим волнам. 55

§44. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды. 55

Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» 56

Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение. 61

Экзаменационные вопросы по курсу «Теоретическая механика и теория поля».(план минимум) 68

Экзаменационные задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля».(план минимум) 69

[§1.] Обобщённые координаты. Понятие числа степеней свободы.

Пусть число степеней свободы равно . Для задания пространственного положения системы необходимы координаты.

– размерность пространства.

– число материальных точек.

числу координат, с помощью которых можно задать положение материальных точек.

– радиус вектор а-той точки.

Если имеются связи, т.е. ограничения, накладываемые на движение системы, причём выраженные в форме уравнений, содержащих эти координаты, то число независимых координат будет меньше на число этих связей.

- все радиус векторы.

, , где k – число связей.

Такие связи называются голономными. Если присутствует время (t) в уравнениях, то связи – нестационарные.

Для вычисления числа степеней свободы можем записать формулу:

Любые независимые переменные, полностью определяющие пространственное положение системы, называются обобщёнными координатами.

Виды координат:

Сферические .

Декартовы .

И другие.

Графическое пояснение:

Вывод данных формул элементарен по Рис.1

- i-тая компонента.

Рассмотрим пример:

Дан математический маятник (Рис.2).

- это n-мерный вектор. Здесь n=1, и уравнения связи имеют вид:

где .

- уравнение связи.

Определим число степеней свободы:

Тогда число степеней свободы равно единице.

§2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве (кп).

КП – это n – мерное пространство обобщенных координат.

- радиус вектор в D-пространстве.

Реальному пространству ставим в соответствие КП

→

КП – служит для технического упрощения решения задач. Одна точка в КП изображает положение системы N материальных точек в реальном D-мерном пространстве.

С истема материальных точек находится во внешнем поле, и они могут взаимодействовать между собой, поэтому движутся по каким-то траекториям. Изменение реальных координат приводит к изменению обобщенных координат. Движение реальных точек приводит к движению изображающей точки. Таким образом, эволюция системы (движение точек в реальном пространстве) описывается движением изображающей точки в КП. В результате в КП получаем траекторию.

Говоря о траектории системы, будем иметь в виду траекторию изображающей точки в КП.

Эволюция системы – это движение в реальном пространстве реальных точек по реальным траекториям.

- -тая обобщённая координата, _.

Итак, имеется траектория в КП. Проведём касательный вектор - обобщенная скорость.

Чтобы описать движение системы надо знать положение точки в любой момент времени – закон движения:

Найти такую зависимость можно из закона Ньютона:

(2.1)

Решением этого уравнения будет некоторый закон движения .

Уравнение (2.1) – дифференциальное уравнение второго порядка, следовательно необходимо два начальных условия:

(2.2)

Уравнений должно быть столько, сколько степеней свободы.

Переменные вида (2.2) называются динамическими переменными – это координаты и скорости в данный момент времени. и - также динамические переменные. Зная и мы задаём механическое состояние системы в начальный момент времени.

Зная все силы, действующие на рассматриваемую систему, можно построить траекторию движения, если при этом решить уравнение движения.