§21. Оператор .
Оператор набла – векторный дифференциальный оператор. Оператор набла можно ввести по-другому:
Часто знак суммы опускают (правило суммирования Эйнштейна).
Запишем условие ортонормированности рассматриваемого базиса:
Действия оператора набла:
Оператор набла действует на скалярную функцию F:
или
Оператор набла скалярно действует на векторную функцию
:
Оператор набла векторно умножается на векторную функцию
:
Кроме векторного и скалярного, есть ещё смешенное произведение векторов:
- объем параллелепипеда.
-
единичный антисимметричный тензор
третьего ранга.
§У. 6. Задачи 12, 13
12. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.
Решение.
13. Вычислить
где p – постоянный
вектор.
Решение.
[§22.] Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
Будем использовать гауссову систему единиц.
и
являются
источниками поля. Уравнения Максвелла
позволяют по заданным источникам
рассчитать электромагнитное поле.
Уравнениям Максвелла в дифференциальной
форме ставятся в соответствие уравнения
в интегральной форме.
[§23.] Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
Удобно ввести:
-векторный
потенциал
-скалярный потенциал
однозначно
определяют электромагнитное поле
[§24.] Градиентная инвариантность.
Существует преобразование, которое не меняет полевых характеристик . Таким преобразованием является градиентное:
Здесь
– произвольная функция координат и
времени
-инвариантность
полевых характеристик
относительно градиентных преобразований.
Аналогично для :
На потенциалы
могут быть наложены произвольные,
удобные для исследования ограничения
– калибровки потенциалов, т.к.
- произвольная.
§25*. -Функция.
Пусть имеется функция Хевисайда:
Ясно, что кроме
,
производная везде равна нулю. Рассчитаем
интеграл:
,
,
Рассмотрим этот же случай, но картинка
смещена на
:
Интегральное одномерное соотношение:
Существует множество способов моделирования подобных функций.
Если
,
то (3) это :
Рассмотрим простейший случай.
- площадь под графиком функции:
Делим
пополам.
И так далее до бесконечности. Это одна из простейших моделей -функции.
§26. Объёмная плотность точечного заряда.
Рассмотрим систему из
точеченого заряда
Здесь возникает необходимость использовать -функцию.
Тогда:
Это соответствует случаю, когда заряд
помещён в начало координат, а плотность
заряда ищется в точке, с радиус-вектором
.
Если же заряд помещён не в начало отсчёта, то плотность заряда перепишется в следующем виде:
В случае системы точечных зарядов имеем:
Для изображения плотности точечного источника всегда используется -функция.