Задачи по курсу «Теоретическая механика и теория поля» и их решение.
[ 1.] Наити функцию Лагранжа двойного плоского маятника , находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g).
Решение. в качестве координат берём углы φ1 и φ2, которые нити l1 и l2 образуют с вертикалью. Тогда для точки m1 имеем:
чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем её декартовы координаты x2, y2 (начало координат в точке подвеса, ось y – по вертикали вниз) через углы φ1 и φ2:
после этого получим:
окончательно:
2 . Найти функцию Лагранжа плоского маятника, находящегося в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести g) с массой m2, точка которого (с массой m1 в ней) может совершать движения по горизонтальной прямой.
Решение. Вводя координату x точки m1 и угол φ между нитью маятника и вертикалью, получим:
[3.] Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
Решение. В декартовых координатах x, y, z:
В цилиндрических координатах r, φ, z:
В сферических координатах r, θ, φ:
[4.] Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент импульса р и момента импульса материальной частицы.
Ответ: =-pz
=0, =-py
5. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М.
Ответ: =-Mz, =-Mx , =-My.
6*. Показать, что
=0, ,
где φ – любая скалярная функция координат и импульса частицы.
Указание. Скалярная функция может зависеть от компонент векторов r и p только в комбинациях r2,p2, . Поэтому
и аналогично для .
7*. Показать, что
=
,
где f – векторная функция координат и импульса частицы, а n – единичный вектор в направлении оси z.
Указание. Произвольный вектор f(r, p) может быть написан в виде где - скалярные функции
8. Выразить амплитуду и начальную фазу колебаний через начальные значения x0, v0 координаты и скорости.
Ответ:
,
9 . Найти частоту колебаний точки с массой m, способной двигаться по прямой и прикреплённой к пружине, другой конец которой закреплён в точке А на расстоянии l от прямой. Пружина, имея длину l, натянута с силой F.
Решение. Потенциальная энергия пружины (с точностью до малых величин высшего порядка) равна произведению силы F на удлинение δl пружины. при x<<l имеем:
,
так что U=Fx2/2l. Поскольку кинетическая энергия есть то
10. Найти частоту колебаний маятника, точка подвеса которого (с массой m1 в ней) способна совершать движение в горизонтальном направлении.
Решение. При φ<<1 находим:
Отсюда
.
1 1. Определить малые колебания двойного плоского маятника.
Решение. Для малых колебаний найденная в задаче 1 параграфа 5 функция Лагранжа принимает вид :
.
Уравнения движения:
После подстановки (23,6) :
Корни характеристического уравнения:
Ответ: .
При частоты стремятся к пределам и , соответствуют независимым колебаниям двух маятников.
12. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.
Решение.
13. Вычислить где p – постоянный вектор.
Решение.
14. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, вычислить интегралы:
если объем, который охватывает замкнутая поверхность, равен V; A – постоянный вектор.
Решение. Умножим искомый интеграл на постоянный вектор р:
Так как вектор р произволен, то
.
Аналогично показывается, что
15. В равномерно заряженном шаре с объемной плотностью заряда имеется шарообразная полость, центр которой расположен на расстоянии а от центра шара. Найти напряженность электрического поля внутри полости, внутри шара и снаружи шара. Радиусы шара и полости равны соответственно R и .
Решение. Из принципа суперпозиции полей следует, что искомая напряженность поля равна разности напряженности электрического поля, создаваемого шаром без полости, и напряженности поля зарядов, заполняющих при этом полость.
Поле внутри полости
поле внутри шара (но вне полости)
поле снаружи шара
где - радиус-вектор, проведенный из центра шара к центру полости.
[16.]Определить напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного шара. Объёмная плотность заряда равна , радиус шара R.
Решение.
при
при
17. Определить коэффициенты разложения потенциала точечного заряда в интеграл Фурье.
Решение. Потенциал точечного заряда является решением уравнения
.
(1)
Представим и в виде разложений в интеграл Фурье:
(2)
Подставляя соотношения (2) в уравнение (1) и приравнивая в подынтегральных выражениях коэффициенты при , получим
.
18. Найти потенциал, создаваемый зарядом, распределенным в бесконечной среде по закону:
Решение. .
19. Определить потенциал точечного заряда е, находящегося в однородной анизотропной среде с заданным тензором диэлектрической проницаемости.
Решение. Предположив, что заряд расположен в начале координат, решим уравнения
Направим оси декартовой системы координат по главным осям тензора диэлектрической проницаемости. Тогда
Подставим соотношения (2) в уравнение (1):
Заменой уравнение приводится к виду
Здесь использовано свойство δ-функции:
Решение уравнения (4) имеет вид
где
20. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндрической полости цилиндрического проводника, по которому течет ток, равномерно распределенный по его сечению с плотностью j. Оси цилиндра, образующего полость, и цилиндрического проводника параллельны и находятся друг от друга на расстоянии а.
Решение. H=1/2
Экзаменационные вопросы по курсу «Теоретическая механика и теория поля».
[1.] Обобщенные координаты.
2. Описание эволюции системы в конфигурационном пространстве.
[3.] Принцип наименьшего действия в классической механике.
[4.] Уравнения движения Лагранжа.
5.Функция Лагранжа и ее свойства.
[6.]Функция Лагранжа простейших систем.
7. Интегралы движения (метод Лагранжа).
8. Свойства симметрии пространства и времени.
[9.] Законы сохранения.
10. Задача двух тел и сведение ее к эквивалентной одномерной.