Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям Ржавинская Белякова Жаркова

.pdf

Скачиваний:

176

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

906.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

y(x0 ) = y0 , y¢(x0 ) = y0¢ ,K, y

(n−1)

где С3 = eC2 , С3 > 0 - любое действительное число.

Замечание. Так как, вводя y = eò z(x)dx , мы тем самым ограничиваем рассмотрение об-

ластью y > 0, следует проверить, не является ли потерянным решением функция y ≡ 0. Подставив y ≡ 0 в исходное уравнение (3.15), убеждаемся, что y ≡ 0 - решение.

Таким образом, все решения уравнения (3.15): y = ex3 +C1x ×C3 и y ≡ 0, или одной форму-

лой: y = C4ex3 +C1x , C1 Î R , C4 R .

3.2. Линейные дифференциальные уравнения порядка n

Определение 3.1. Линейным дифференциальным уравнением порядка n называ-

ется уравнение, линейное относительно неизвестной

функции

y(x) и ее производных

y′(x),..., y(n) (x) , т.е. уравнение вида

(x) y(n)

a (x) y(n−1)

...

(x) y

= ϕ

(x) .

(3.18)

Если φ(x) = 0, то уравнение (3.18) называется линейным однородным дифференциаль-

ным уравнением порядка n (левая часть уравнения является однородной функцией перво-

го порядка относительно y′,..., y(n) ).

Если x [a,b] , a0 (x) ¹ 0 , то,

разделив на

a0 (x)

обе части (3.18),

приведем уравнение

(3.18) к виду:

y(n)

p (x) y(n−1)

...

(x) y

f (x) .

(3.19)

+ 1

Для уравнения

(n)

(x))

= 0

(3.20)

F(x, y(x), y (x),..., y

задача Коши ставится следующим образом.

Требуется найти решение уравнения (3.20), удовлетворяющее начальным условиям

(x0 ) = y0(n−1) .

Приведем без доказательства теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка.

Теорема 3.1. Если в дифференциальном уравнении (3.19) коэффициенты pi (x) , i = 1, 2,

..., n, и функция f (x) непрерывны на a ≤ x ≤ b , то x0 (a,b) при любых начальных усло-

виях

¢	¢		(n−1)	(n−1)	(3.21)
		,K, y		(x0 ) = y0
y(x0 ) = y0 , y (x0 )	= y0
существует, и притом единственное, в некотором				промежутке	[x0 − h, x0 + h] решение
уравнения (3.19), удовлетворяющее начальным условиям (3.21).
		53

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

[a,b]

Обсудим сначала линейное однородное уравнение

		y(n)	+	p (x) y(n−1)	+ K+	p	n	(x) y	=	0 .	(3.22)
			+	1	+ K+		n		=
Обозначим через	C(n)	совокупность всех функций, непрерывных на отрезке [a,b] вме-
	[a,b]

сте со своими производными до порядка n включительно, через C[a,b] - совокупность всех функций, непрерывных на отрезке . Было доказано, что C[a,b] - линейное пространст-

во. Самостоятельно докажите, что C[(an,)b] тоже является линейным пространством.

Левую часть в (3.22) обозначим через L[y(x)] , ( y(x) C[(an,)b] )

L[y(x)] = y(n) + p1(x)y(n−1) +K+ pn (x)y .

Последнее равенство определяет оператор L: C[(an,)b] → C[a,b] , назовем его дифференци-

альным оператором.

Утверждение 3.1. Оператор L - линейный.

В самом деле, пусть y(x) C[(an,)b] , λ - произвольное действительное число.

Имеем

L[λy(x)]= (λy(x))(n) + p1(x)(λy(x))(n−1) + K+

	+ pn (x)λy(x)		=
			Cв-ва производных
	= λ[(y(x))(n) + p1(x)(y(x))(n−1) + K+ pn (x)y(x)]= λL[y(x)].
Пусть
	y (x), y	2	(x) C(n)	,
	1	2	[a,b]
тогда
	L[ y1(x) + y2 (x)] =
	= (y1(x) + y2 (x))(n) + p1(x)(y1(x) + y2 (x))(n−1) + ... +
	+ pn (x)(y1(x) + y2 (x)) =
=	[(y1(x))(n) + p1(x)(y1(x))(n−1) + ...+ pn (x)(y1(x))] + +[(y2 (x))(n) + p1(x)(y2 (x))(n−1) + ...+
Св-ва производных

+ pn (x)(y2 (x))] = L[ y1(x)] + L[y2 (x)].

L - линейный оператор.

Теорема 3.2. Любая линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения (3.22) является решением (3.22).

Доказательство. Достаточно убедиться, что сумма любых двух решений линейного однородного дифференциального уравнения (3.22) является решением (3.22) и произведение любого решения на число является решением (3.22).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

L[λ y(x)].

Пусть y1(x) и y2 (x) - решения (3.22). Рассмотрим L[ y1(x) + y2 (x)] .

Имеем

L[y1(x) + y2 (x)]	=	L[y1(x)] + L[y2 (x)]	=	0 .
	L- линейный		y1(x), y2 (x) - решения (3.22)

Отсюда следует, что y1(x) + y2 (x) - решение уравнения (3.22).

Пусть y(x) - произвольное решение уравнения (3.22), λ - произвольное действительное

число. Рассмотрим

Имеем L[λ y(x)]= λ L[y(x)]= 0 (L - линейный оператор, y(x) - решение (3.22)) и λ y(x) - ре-

шение (3.22).

Итак, любая линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения является решением этого уравнения.

Теорема 3.3. Если линейное однородное дифференциальное уравнение (3.22) с действительными коэффициентами pi(x), i = 1, 2, …, n, имеет комплекснозначное решение y(x) = u(x) + iv(x), то u(x) и v(x) являются решениями (3.22).

Доказательство. По условию L[u(x) + iv(x)] = 0 , а так как L - линейный оператор,

L[u + iv] = L[u] + iL[v] . Отсюда (комплексное число a + ib = 0 a = 0, b = 0 ) получаем L[u(x)] = 0

и L[v(x)] = 0 , а это и означает, что u(x) и v(x) - решения уравнения (3.22).

Напоминание. Функции y1(x),..., yn (x)	называются линейно зависимыми на отрез-
ке [a, b], если найдутся такие числа α1,...,αn , не все равные нулю одновременно, что
x [a,b]
α1y1(x) + ...+ αn yn (x) = 0 .
Если из равенства a1y1(x) +K+ an yn (x) = 0	x [a,b] следует, что a1 = a2 =K=an = 0 , то

функции y1(x),..., yn (x) называются линейно независимыми на отрезке [a, b].

В данном случае мы всего лишь “прочитали” знакомое нам определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов в произвольном линейном пространстве V

применительно к пространству C[a,b] ( или C[(an,)b] ).

Пример 3.5. Функции 1, x, x2 ,K, xn линейно независимы на любом отрезке [a, b] (при-

мер обсуждался в курсе линейной алгебры).

Пример 3.6. Функции

ek1x , ek2 x ,K,ekn x

(3.23)

при ki ¹ k j , если i ¹ j , линейно независимы на любом отрезке [a, b].

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Действительно, допустим, что система функций (3.23) линейно зависима, т.е. существуют числа a1,a2 ,K,an , не все равные нулю одновременно, что

α1ek1x + α2 ek2 x + K+ αn ekn x = 0 .

(3.24)

Пусть для определенности an ¹ 0. Разделим обе части (3.24) на ek1x

α1 + α2 e(k2 −k1 )x + K+ αn e(kn −k1 ) x = 0

и продифференцируем

α2

k ) e(k2 −k1 ) x

+ K+ αn

n −

k ) e(kn −k1 ) x

0 .

(3.25)

−

Разделим обе части (3.25) на e(k2 −k1)x

α2

−

k )

+ α3

3 −

k ) e(k3 −k2 ) x

+ K+ αn

k ) e(kn −k2 )x

0 ,

− 1

продифференцируем

α3

3 −

k )(k

3 −

) e(k3 −k2 ) x

n −

k ) (k

n −

)e(kn −k2 )x

0 ,

+ K+ αn

и так далее (n – 1) раз. После (n – 1)-го шага имеем

αn (kn − k1) (kn − k2 )...(kn − kn−1)e(kn −kn−1 ) x = 0 .

Мы предположили, что an ¹ 0 ,

а по условию (kn - k1) ¹ 0,

(kn - k2 ) ¹ 0,K, (kn - kn−1) ¹ 0 .

Известно, что e(kn −k2 )x ¹ 0 . Таким образом, мы пришли к противоречию.

Следовательно, функции ek1x , ek2 x ,..., ekn x при ki ¹ k j , если i ¹ j , составляют на любом от-

резке [a, b] линейно независимую систему.

Пример 3.7. Доказать, что функции

ek1x , x ek1x ,...,	xn1 ek1x ;
ek2 x , x ek2 x ,...,	xn2 ek2 x ;
…
ek p x , x ek p x ,...,	xn p ek p x ,

где ki ¹ k j при i ¹ j линейно независимы на любом отрезке [a, b].

Определение 3.2. Определителем Вронского системы функций y1(x),K, yn (x) на отрезке [a, b] называется функция

	y1(x)	y2 (x) ...			yn (x)
	¢	¢			¢
W (x) =	y1(x)	y2 (x) ...			yn (x)		.
W (x) =	...	...	...		...		.
	...	...	...		...
	y (n−1) (x) y (n−1)		(x) ...	y	(n−1)	(x)
	1	2			n
Теорема 3.4. Если система функций		y1(x),..., yn (x)		линейно зависима на отрезке [a, b],

то x [a,b] , определитель Вронского этой системы равен нулю: W[ y1,..., yn ] = 0 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

x [a,b]

Доказательство. По условию найдутся числа a1,...,an , не все равные нулю одновре-

менно, что x [a,b]

a1y1(x) + ...+ an yn (x) = 0 .

(3.26)

Дифференцируем равенство (3.26) ( n −1 ) раз и объединяем получившиеся равенства в следующую систему уравнений:

ì a1y1(x) ïïí a1y1¢(x)

ïîa1y1(n−1)

+a1y2 (x) + ...+ an yn (x) = 0

+a1y¢2 (x) + ...+ an yn¢ (x) = 0

...

(x) + a1y2(n−1) (x) + ...+ an yn(n−1)

. (3.27)

(x) = 0.

Система (3.27) - система линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных a1,a2,...,an , и по предположению имеет ненулевое решение (так как не все ai , i =1, 2, ...,n , равны нулю). Это означает, что определитель системы (3.27) равен нулю, т.е. .

	y1(x)			y2 (x) ...			yn (x)
	¢			¢			¢
D =	y1(x)			y2 (x) ...			yn (x)		= W[y1,..., yn ] = 0
D =	...			...	...		...		= W[y1,..., yn ] = 0
	...			...	...		...
	y (n−1)	(x)	y	(n−1)	(x) ...	y	(n−1)	(x)
	1			2			n
и теорема 3.4 доказана.

Теорема 3.5. Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение

y(n) + p (x)y(n−1)	+... + p	n	(x)y = 0 ,	(3.28)
1		n

коэффициенты pi (x) , i =1, 2,...,n , - непрерывные на отрезке [a, b] функции.

Пусть y1(x),..., yn (x) - решения уравнения (3.28), линейно независимые на отрезке [a, b].

Тогда x [a,b] W (x) ¹ 0 .

Доказательство.

Доказательство

поведем

от

противоположного.

Допустим,

x0 [a,b] W (x0 ) = 0 . Рассмотрим систему уравнений, для которой W (x0 ) = 0

является оп-

ределителем

ìa y (x ) + a y

(x ) + ...+ a

(x ) = 0

1 1 0

= 0

ïa1y1(x0 ) + a1y2 (x0 ) + ...+ an

yn (x0 )

(3.29)

...

(x ) + a y(n−1) (x ) + ...+ a

y(n−1)

ïa y(n−1)

(x ) = 0.

1 1

1 2

Система (3.29) - система n линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными a1,a2,...,an .

Определитель системы (3.29) D = W (x0 ) = 0 , следовательно, система имеет бесчислен-

ное множество решений, тогда существует решение (a1,a2,...,an ) ¹ 0 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

x [a,b]

(n−1)

Рассмотрим функцию y(x) = a1y1(x) + a1y2 (x) + ... + an yn (x) .

По теореме 3.2 y(x) - решение уравнения (3.28) (линейная комбинация решений). В точке x0 имеем

y(x0 ) = a1y1(x0 ) + a1y2 (x0 ) +K+ an yn (x0 ) = 0 ; y′(x0 ) = 0 ,…, y (x0 ) = 0 (в силу (3.29)).

Таким образом, функция y(x) - решение уравнения (3.28), удовлетворяющее нулевым начальным условиям.

Однако функция y*(x) ≡ 0 тоже является решением уравнения (3.28) и удовлетворяет нулевым начальным условиям.

Привлекая теорему 3.1, делаем вывод, что y(x) = y*(x), или

a1y1(x) + a1y2 (x) + ... + an yn (x) = 0 (причем не все αi равны нулю одновременно). Последнее равенство означает, что y1(x),..., yn (x) линейно зависимы на отрезке [a, b], что противоре-

чит условию теоремы. Отсюда следует, что x [a,b] W (x) ¹ 0 .

Теорема 3.6 (о структуре общего решения линейного однородного дифференциаль-

ного уравнения). Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение

y(n) + p (x)y(n−1)	+... + p	n	(x)y = 0 ,	(3.30)
1		n

коэффициенты pi(x), i = 1,…, n, непрерывны на отрезке [a, b]. Функции y1(x), …, yn(x) - решения (3.30), линейно независимые на отрезке [a, b].

Тогда
yобщ = с1y1(x) +…+ cnyn(x),	(3.31)

где c1, …, cn - произвольные действительные постоянные.

Доказательство. Доказать, что (3.31) - общее решение уравнения (3.30), означает доказать, что любое решение уравнения (3.30) можно записать в виде (3.31).

Возьмем одно решение (3.30), поставив задачу Коши. Зададим начальные условия

y(x0) = y0, …, y'(x0) = y0', …, y(n−1)(x0) = y0(n–1). (3.32)

Функция (3.31) при любых c1, …, cn является решением (3.30) (теорема 3.2). Потребуем, чтобы функция (3.31) удовлетворяла начальным условиям (3.32):

ìc1 y1(x0 ) + ... + cn yn (x0 ) = y0
ïc		y'	(x ) + ... + c	n	y'		n	(x ) = y'		0
ï	1	1	0	n			n		0	0	(3.33)
í			...								(3.33)
ï			...			yn−1(x ) = yn−1.
ïc		yn−1(x ) + ... + c			n	yn−1(x ) = yn−1.
î	1	1	0		n		n		0	0

Система (3.33) - система линейных алгебраических уравнений относительнo c1, …, cn с определителем

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	y1(x0 )...yn (x0 )
D =	y'1 (x0 )...y'n (x0 )				= W [y1	,..., yn ]	¹ 0 .
			...
							(Теор. 3.5)
	yn−1	(x )...yn−1		(x )
	1	0	n	0			x= x0

Отсюда заключаем, что система (3.33) имеет единственное решение с1, …, сn.

Таким образом, для того единственного решения, которое соответствует начальным условиям (3.32), нашелся единственный набор коэффициентов с1, …, сn в записи (3.31).

Итак, любое решение уравнения (3.30) может быть записано в виде (3.31), следователь-

но (3.31) - общее решение дифференциального уравнения (3.30).
Пример 3.8. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"−y = 0 .	(3.34)

Функции y1 = eх и y2 = e−х являются решениями (3.34) (проверяем непосредственной подстановкой в уравнение (3.34)). Они линейно независимы на любом отрезке [a, b], так как

ex	e− x	= -2 ¹ 0
ex	-e− x	= -2 ¹ 0

(можно также сослаться на пример 3.2: экспоненты с различными показателями линейно независимы на любом отрезке [a, b]).

По теореме 3.6 имеем yобщ = с1ex + c2e–x.

Следствие (из теоремы 3.6). Максимальное число линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения равно его порядку.

Доказательство поведем от противоположного. В самом деле, пусть у1, …, уn, yn+1 - линейно независимые решения дифференциального уравнения (3.30). Подсистема у1, …, уn системы у1, …, уn, yn+1 тоже линейно независима.

Тогда (теорема 3.6) найдутся числа с1, …, сn : yn+1 = c1y1 + … + cnyn и система функций у1, …, уn−1, yn+1 окажется линейно зависимой Þ противоречие.

Определение 3.3. Любые n линейно независимых частных решений линейного одно- родного дифференциального уравнения порядка n называются его фундаментальной системой решений.

(В примере 3.8 функции у1 = ex и у2 = e−x - фундаментальная система решений для дифференциального уравнения (3.34).)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными Коэффициентами

Пусть в линейном однородном дифференциальном уравнении коэффициенты постоянны

a0y(n) + a1y(n–1) + … + any = 0,

(3.35)

ai, i = 0, 1, …, n - постоянные действительные числа.

Будем искать фундаментальную систему решений уравнения (3.35) с тем, чтобы затем привлечь теорему 3.6.

Частные решения уравнения (3.35) ищем в виде у = еkx, k - постоянная. Подставим у = еkx в

(3.35). Так как у' = kеkx, y" = k2еkx, …, y(n) = knеkx, получим

a0knеkx + a1kn–1еkx + … + anеkx = 0,

или

еkx(a0kn + a1kn–1 + … + an) = 0.

Итак, функция у = еkx является решением (3.35) тогда и только тогда, когда число k

удовлетворяет уравнению
a0kn + a1kn–1 + … + an = 0.	(3.36)

Уравнение (3.36) называется характеристическим для линейного однородного дифференциального уравнения (3.35), а его корни - характеристическими корнями дифференциального уравнения (3.35).

Случай 1. Характеристические корни действительны и различны, тогда их n корней.

Пусть это числа k1,…, kn функции ek1x , ek2 x ,...,ekn x составляют линейно независимую на любом отрезке [a, b] систему (см. пример 3.6) и по теореме 3.6

y = c1ek1x + c2 ek2 x + ... + cnekn x .

Пример 3.9. Найти общее решение дифференциального уравнения

y" − 4y = 0.	(3.37)
Характеристическое уравнение для (3.37)
k2 − 4 = 0.
Его корни: k1 = 2, k2 = 2.
Фундаментальная система решений
y1 = e2x и y2 = e–2x	Þ
	Теор.3.6

Þ yобщ = c1e2x + c2e−2x.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Случай 2. Среди корней характеристического уравнения (3.36) есть кратные. Тогда число решений вида ekx меньше, чем n - недостающие решения, составляющие фундаментальную систему, будем искать в другом виде.

Утверждение. Если характеристическое уравнение (3.36) имеет корень k кратности r, то функции ekx, xekx,…, xr−1ekx являются решениями уравнения (3.35).

Действительно,

1) пусть k = 0 - корень кратности r характеристического уравнения (3.36), тогда уравнение (3.36) имеет вид

a0kn + a1kn−1 + … + an = g(k)kr = 0,
причем g(0) ≠ 0, g(k) - многочлен степени n − r. Следовательно,
an = an – 1 = … = an – r + 1 = 0, a an – r ≠ 0.
Тогда уравнение (3.36) можно записать в виде
a0kn + a1kn–1 +…+ an – rkr = 0,
а исходное дифференциальное уравнение
a0y(n) + a1y(n−1) + … + an–ry(r) = 0.	(3.38)
Дифференциальному уравнению (3.38) удовлетворяют функции
y1 = 1, y2 = x,…, yr = xr–1.	(3.39)
(В этом можно убедиться, подставив их в (3.38).)

Таким образом, характеристическому корню k = 0 кратности r соответствует r частных решений (3.39). Было доказано, что они линейно независимы;

2) пусть характеристическое уравнение (3.36) имеет корень k = k1 ≠ 0 кратности r. Замена

y = ek1x z(x)

(3.40)

сведет задачу нахождения частных решений уравнения (3.35) к уже рассмотренной. Действительно, имеем

y ' = k1ek1x z(x) + ek1x z '(x) ,

y '' = k12ek1x z(x) + 2k1ek1x z '(x) + ek1x z ''(x) ,

			...				(3.41)
			...
y(n) =	(	z(x)ek1x	)	(n)	=	ek1x (z(n) + nz(n−1)k +K+ zk n ) .
	(		)		Ф-ла Ньютона -	1	1

Лейбница

Подставляем соотношения (3.41) в (3.35).

Так как в (3.41) функции z(x), z'(x), …, z(n)(x) входят линейно и коэффициенты в (3.35) и (3.41) - постоянные числа, получим линейное дифференциальное уравнение порядка n относительно функции z(x) с постоянными коэффициентами. Правые части в

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

(3.41) - однородные функции первого порядка. Получившееся уравнение будет и однородным

b0z(n) + b1z(n−1) + … + bnz = 0.	(3.42)
Его характеристическое уравнение
b0λn + b1λn–1 + … + bn = 0.	(3.43)

Если λ = p - корень характеристического уравнения (3.43), то в силу замены (3.40) k = k1 + p - корень характеристического уравнения (3.36). Тогда функция z = epx является ча-

стным решением уравнения (3.42), а функция y = e(ki + p)x - частным решением уравнения

(3.35). Причем кратности λ = p и k = k1 + p в характеристических уравнениях (3.36) и (3.43) одни и те же.

Далее. Если k = k1 - корень характеристического уравнения (3.36) кратности r, то λ = 0 - корень характеристического уравнения (3.43) той же кратности r. Тогда в соответствии с уже рассмотренным случаем 1 функции z1 = 1, z2 = x, …, zr = хr–1 являются частными реше-

ниями уравнения (3.42), а функции y1 = ek1x , y2 = xek1x ,K, yr = xr−1ek1x - частными решениями уравнения (3.35) (в силу связи между ними (3.40)).

Функции y1, …, yr линейно независимы (см. пример 3.7) и соответствуют k = k1 в фундаментальной системе решений уравнения (3.35).

Пример 3.10. Найти общее решение дифференциального уравнения

y''' – 3y'' + 3y' – y = 0.

(3.44)

Характеристическое уравнение для (3.44)

k3 – 3k2 + 3k – 1 = 0.

Его корни: k1, 2, 3 = 1. Фундаментальная система решений:

y1 = ex, y2 = xex, y3 = x2ex; yобщ = c1ex + c2xex + c3x2ex.

Случай 3. Среди характеристических корней есть комплексные. Пусть k1 = α + iβ - ко-

рень характеристического уравнения (3.36). Так как коэффициенты в (3.35) действительные числа, k2 = α − iβ - тоже характеристический корень и той же кратности (ссылаемся на Основную теорему алгебры).

Итак, для уравнения (3.35) с действительными коэффициентами комплексные характеристические корни могут встречаться только сопряженными парами (одной и той же кратности).

Если k1 = α + iβ - характеристический корень, то функция e(α+iβ)x - частное решение уравнения (3.35).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.12.20184.09 Mб29Лекции 2011 ТМ и ТП.doc
#
13.08.20191.28 Mб15Лекции 5-7 Энергия в электростатике (полная вер...doc
#
14.08.20191.33 Mб12ЛЕКЦИИ АИС 1 ЧАСТЬ (ДО ОУ).doc
#
14.08.2019802.82 Кб10Лекции по АИС 2 часть.doc
#
03.09.20191.01 Mб12Лекции по диффурам.docx
#
27.03.2016906.51 Кб176Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям Ржавинская Белякова Жаркова.pdf
#
15.04.20193.95 Mб15лекции по термеху.doc
#
24.08.2019139.78 Кб34Лекции С_Т_ЭКТ.doc
#
13.07.201987.04 Кб4Лекции ССиСК.doc
#
05.06.201524.5 Кб116Лекция 1. Теор фонетика.docx
#
27.03.201641.49 Кб5Лекция 1.docx