Раздел 1

1. а) {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РРГ, РГР, ГРР, РРР},

б) A= {ГРР, РГР, РРГ},B={ГГР, ГРГ, РГГ},C={ГГР, ГРГ, РГГ, ГГГ},

в) 3/8, 3/8, 1/2

2.

3. а) нет, б),

в)

Раздел 2

1. 3/10, 7/10

2. а) 1/3 , б) 1\2 , в) 0

3. а) 1/6 , б) 1/3 , в) 1/ 2, г) 1/3

4.а) 1/36, б) 1/18, в) 5/18, г) 11/36

5.

6. 

7. 

8. 

9. 

10. (m – 1) / (n – 1)

11. (m – 1) / (n – 1)

12. 

13. 

14. 

15. 

16. ¼

Раздел 3

1. 2/3

2. 2/9 , 1/3

3. Зависимы:

4. Зависимы:

5. 2/3

6. Нет: , так что

7. 

= поэтому событияA,B,Cпопарно независимы. Но, так что события

A,B,C зависимы в совокупности.

8. 

Раздел 4

1. а) 0,98 , б) 0,26 , в) 0,02

2. 1/126

3. 1/216 , 1/36 ,

1. 5/8

5. 7/9

6. 1/2

7. 28/29 . Замечание: задачу проще решить переходом к противоположному событию.

8. 65/81

9. 0,1. Найти аналогию с «хорошим» билетом на экзамене. 0,5

10. 

11. ,

12. 

13. 

7. В системе 1 : - вероятность работы верхней цепи (из элементов 1, 2) и- вероятность работы нижней цепи (из элементов 3, 4). Поэтому вероятность работы системы 1 равна

В системе 2: - вероятность работы левого звена (из элементов 1, 3) и- вероятность работы правого звена (из элементов 2, 4). Поэтому вероятность работы системы 2 равна

Следовательно, вторая система надёжнее.

16. Событие А – жюри примет правильное решение – является суммой следующих несовместных событий: (1-ый судья – правильное решение, и 2-ой судья - правильное решение, и 3-ий судья – правильное решение) + (1-ый судья – правильное решение, и 2-ой судья - правильное решение, и 3-ий судья – неправильное решение) + (1-ый судья – неправильное решение, и 2-ой судья - правильное решение, и 3-ий судья – правильное решение) + (1-ый судья – правильное решение, и 2-ой судья - неправильное решение, и 3-ий судья – правильное решение) . Каждое слагаемое в сумме – произведение независимых в совокупности событий. Поэтому:

17. Вероятность принятия жюри правильного решения равна

Неравенствовыполнено при

18. Вероятность принятия жюри правильного решения равна

19. 609/625

Раздел 5

1. 13/30

2. 11/20 , 4/5 , 11/100

3. 1

4. m/n

5. 67/120

6. 0,52. Короткое решение. Событие А - вынут белый шар. Гипотезы: - вынутый из второй урны шар принадлежал первой урне;- вынутый из второй урны шар принадлежал второй урне.

7. 

8. 0,78

9. 0,816

10

11. 20/21

12. 6/7 . Указание: полная сумма событий в данном опыте состоит из четырёх гипотез.

13. 2/3 , 1/2, 1/3

14. 0,41

15. 0,77 , 0,19 , 0,04

16. 0,64 , 0,16 , 0,04

Раздел 6

1. 5/16 , 13/16 , 1/32

2. 27/128

3. Выиграть 2 встречи из четырёх. Как объяснить это, используя числовые характеристики биномиального распределения?

4. 0,77, 0,02

5. 0,373

6. 0,737

7. 

8. Вероятность того, что при nбросаниях «шестёрка» не выпадет ни разу равнаРешая неравенстваполучим:

а) n ≥ 4 , б)n ≥ 13

9. 0,019

Раздел 7

1. 0,0798 , 0,011 , ≈ 0

2. 0,0532, 0,022

3.0,052

4.0,682

5. 0,97

6. 0,972

7. От 4 до 23. Применить правило «трёх сигм».

8. 

9. 0,2385

10. 

11. 

12. 0,1755 , 0, 0181 , 0,0067 , 0,9933

13. 

а) неравенство для нахождения k: 120000 ≤ 1000۰ k,

б) неравенство для нахождения k: 80000 ≥ 1000۰ k,

Раздел 8

1. б) ,

в) 0,8 , г) 0,2 , 1,36 , 1,17 , 5,85 , любая точка в интервале [1, 0], 1

д)

2. б) , в) 1, г) 1/6 , 5/36 , , , 0 , 0, д)

3. б),

в) 1/2, г) 3/2 , 3/4, , любая точка интервала [1, 2], два значения: 1 и 2,

д)

4. 

5. а) , б) 0,25 , в) 0,75

6. а) , б)

7. –3 , 160 ,

8. а) 7/2 , 35/12 , ≈ 1,71 ; б)

9. Пусть центр круга радиуса Rрасположен в начале координат. Если (x,y) – координаты брошенной в круг точки, то- длина радиус-вектора точки. При. Поэтому

Плотность распределения ξ равна

4. Квадратичное неравенствовыполняется при любом значенииp.