КОМБИНАТОРИКА. БИНОМ НЬЮТОНА

§ 1. Перестановки, размещения, сочетания

150. Записать все перестановки элементов множества {a,b,c}.

151. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, не повторяя цифр в числе.

152. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены различные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые

1) начинаются цифрой 1,

2) не начинаются цифрой 2,

3) начинаются с числа 12,

4) не начинаются с числа 12,

5) являются четными,

6) делятся на 4?

153. Вычислить

1) , 2) , 3) .

154. Упростить

1) , 2) .

155. Преобразовать в дробь .

156. Сколькими способами можно расставить 6 книг на книжной полке?

157. В пассажирском поезде 14 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 14 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

158. Сколькими способами можно составить список из 20 студентов?

159. Сколько различных перестановок цифр может быть сделано в числе 1223589 так, чтобы каждый раз получалось четное число?

160. Решить неравенство

1) , 2) , 3) ,

4) .

161. Сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре различные должности из девяти кандидатов на эти должности?

162. Вычислить .

163. Решить уравнение

1) , 2), 3) ,

4) .

164. Доказать тождества

1) , 2) .

165. Из скольких различных предметов можно составить 210 размещений по 2 элемента в каждом?

166. Составить все подмножества множества {a, b, c} и найти их число.

167. Вычислить

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

168. Упростить 1) , 2)

169. Решить уравнение

1) , 2) , 3) .

170. Из двадцати человек надо выделить шестерых для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

171. Сколькими способами можно рассадить 30 студентов в аудитории, рассчитанной на 34 места?

172. Сколько различных трехцветных флагов с тремя одинаковыми вертикальными полосами можно составить, используя ткань семи различных цветов?

173. В автобусном парке 38 машин. Сколькими способами можно назначить 36 машин для выхода в рейс?

174. Сколько разных стартовых шестерок можно образовать из десяти волейболистов?

175. Из двенадцати человек надо составить две волейбольные команды по шесть человек в каждой. Сколькими способами это можно сделать?

176. Сколькими способами множество, состоящее из четырнадцати элементов, можно разбить на два подмножества так, чтобы одно содержало восемь, а другое – шесть элементов?

177. Решить уравнение

1) , 2) , 3) , 4) .

178. Решить неравенство

1) , 2) .

179. Решить неравенство

1) , 2) , 3) , 4) .

180. Сколько окружностей можно провести через десять точек плоскости, из которых никакие четыре точки не лежат на одной окружности и никакие три точки не лежат на одной прямой, если каждая окружность проходит через три из этих точек?

181. В подразделении шестьдесят солдат и пять офицеров. Сколькими способами можно выделить караул, состоящий из трех солдат и одного офицера?

182. Из десяти одинаковых лилий и восьми одинаковых роз надо составить букет так, чтобы в него входили две розы и три лилии. Сколькими способами это можно сделать?

183. Собрание из восьмидесяти человек выбирает председателя, секретаря и трех членов комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

184. Из двенадцати различных конфет надо составить детский новогодний подарок с десятью конфетами. Сколькими способами это можно сделать? Рассмотреть два случая:

1) подарок в виде мешка,

2) подарок в виде коробки.

185. В шахматном турнире сыграно 210 партий, причем каждый участник сыграл с каждым из остальных шахматистов по одной партии. Сколько человек участвовали в турнире?

186. Найти область определения последовательности, общий член которой равен

1) , 2) , 3) .

187. Изобразить точками на координатной плоскости последовательность, общий член которой равен

1) , 2) .

188. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 25, можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7, если одна и та же цифра не может присутствовать в числе?

189. В одной старой сказке речь идет о такой задаче. Вокруг костра сидят двенадцать разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное надо выделить пятерых разбойников. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы между выбранными не было распрей?

190. Написать программу на языке Pascal (Turbo Pascal) или Basic для вычисления

1) числа перестановок из n элементов,

2) числа размещений из n по m элементов,

3) числа сочетаний из n по m элементов.

191. Доказать равенство .

§2. Бином Ньютона

192. Представьте в виде многочлена

1) , 2) , 3) , 4) .

193. Найти

1) биномиальный коэффициент среднего члена разложения (a+b)²⁰,

2) четвертый член разложения (8x-5y)⁶.

194. Написать средние члены разложения по формуле бинома Ньютона

1) , 2) .

195. Написать девятый член разложения , если сумма всех биномиальных коэффициентов этого разложения равна 2048.

196. Найти x, если пятый член разложения по формуле бинома Ньютона равен 1260000.

197. Сумма биномиальных коэффициентов разложения по формуле бинома Ньютона равна 64. Написать член этого разложения, не содержащий переменную x.

198. Сумма третьего от начала и третьего от конца биномиальных коэффициентов разложения по формуле бинома Ньютона равна 9900. Сколько рациональных членов содержится в этом разложении?

199. Доказать, что

200. Найти коэффициент при x⁴ в разложении (1+x-x²)⁹ по формуле бинома Ньютона.

201. Найти рациональный член в разложении по формуле бинома Ньютона.

202. В разложении по формуле бинома Ньютона сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна 32. Найти член разложения, содержащий x^2,8.

203. Найти сумму коэффициентов разложения (5x²-4y³)⁷ по формуле бинома Ньютона.

204. Сколько членов разложения (1+0,01)¹⁰ надо взять, чтобы определить число (1+0,01)¹⁰ с точностью до 0,001?

205. Сколько различных аккордов можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от трех до десяти звуков?

206. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами можно расставить эти книги, чтобы первый и второй тома

1) не стояли рядом,

2) стояли рядом?

207. Двенадцать рабочих разбиты на три бригады по четыре человека в каждой. Сколько может быть различных составов бригад?

208. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что в числе нет одинаковых цифр?

209. Доказать, что

, где kN, 0 k  2n.

О Т В Е Т Ы

150. abc, acb, bac, bca, cab, cba. 151. 1332. 152. 1) 24, 2) 96, 3) 6, 4) 114, 5) 48, 6) 24. 153. 1) 2450, 2) 43758, 3) 4845. 154. 1) , 2) . 155. . 156. 6! 157. 14! 158. 20! 159. 1080. 160. 1) {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 2) n>11, nN, 3) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 4) {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, 161. 3024, 162. 256, 163. 1) x=4 2) x₁=9, x₂=10, 3) n=6, 4) n{1, 2,…, 11}. 165. 15. 166. , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}; 8. 167. 1) 30/7, 2) 7, 3) 5, 4) 28, 5) 25920, 168. 1) n, 2) n(n-1), 169. 1) n=12, 2) x=11, 3) x=3  nN, 170. 38760, 171. 46376,172. 210, 173. 703, 174. 210, 175. 462, 176. 3003, 177. 1) n₁=3, n₂=14, 2) n=5, 3) n=19, 4) n=17, 178. 1) n{5, 6, 7, 8}, 2) n>9, nN. 181. 171100. 182. 3360. 183. 425323360. 184.1) 66, 2) 239500800. 185. 21. 186. 1) nN, n10, 2) nN, x5, 3) nN, n15. 188. 48. 189. 36. 192. 1) x⁷+7x⁶+21x⁵+35x⁴+35x³+21x²+7x+1, 2) x⁵-10x⁴+40x³-

-80x² +80x-32, 3) 81x⁴+216x³y+216x²y²+96xy³+16y⁴, 4) x¹²-

-6x⁹+15x⁶-20x³+15-6x^-3+x^-6.. 193. 1) 1847560, 2) –1280000x³y³. 194.1),2)и. 195. 165y¹⁷. 196. x₁=0,1, x₂=100, 197. 5/27, 198. 9. 200. -90. 201. 2772. 202. 20x^2,8. 203. 1. 204. 3. 205. 968. 206. 1) 28∙29!, 2) 2∙29! 207. 216.