Раздел 6. Испытания Бернулли

1. Правильную монету бросают 5 раз. Найти вероятности событий:

• герб выпадет 3 раза;

• герб выпадет не менее двух раз;

• герб выпадет 5 раз.

2. Опыт, состоящий в бросании двух монет, повторяется 4 раза. Найти вероятность того, что пара гербов выпадет два раза.

3. Что вероятнее: выиграть у равносильного теннисиста 3 встречи из 6 или 2 встречи из 4?

4. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий:

• нет ни одного бракованного;

• будут два бракованных.

5. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.

6. Всхожесть семян данного растения оценивается 80%. Какова вероятность того, что из пяти семян взойдут не менее четырёх?

7. Две кости бросают 24 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадут две «шестёрки»?

8. Сколько раз нужно бросить кость, чтобы с вероятностью, не меньшей а) 0,5, б) 0,9 , хотя бы один раз выпала «шестёрка»?

9. В интернет–экзамене 18 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответа, из которых только один правильный. Для успешной сдачи экзамена надо указать правильные ответы не менее, чем на 9 вопросов. Какова вероятность успешной сдачи экзамена, если ответ на каждый вопрос выбирать наугад?

Раздел 7. Теорема Муавра-Лапласа и Пуассона

1. Правильную монету бросают 100 раз. Найти вероятности выпадения 50 «гербов»,

40 «гербов», 25 «гербов».

2. Вероятность достижения успеха в испытании равна 0,25. Найти вероятности того, что в 300 независимых испытаниях успех будет достигнут 75раз, 85 раз.

3. В первые классы будет принято 200 детей. Найти вероятность того, что среди них будет 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

4. Сто монет случайным образом укладывают столбцом. Найти вероятность того, что число монет расположенных «гербом» вверх, будет от 45 до 55.

5. Производство даёт 1% брака. Найти вероятность того, что из 1100 изделий бракованных будет не больше 17.

6. Всхожесть семян некоторого растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.

7. Игральную кость бросают 80 раз. Найти приближённо границы, в которых число выпадений шестёрки будет заключено с вероятностью 0,9973.

8. Телефонный коммутатор обслуживает 800 абонентов. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение часа на коммутатор позвонят 5 абонентов.

9. На факультете 500 студентов. Найти вероятность того, что из двух студентов день рождения придётся на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.

10. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.

11. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 с испускало в среднем 3,87 α – частиц. Найти вероятность того, что за 1 с это вещество испустит хотя бы одну α – частицу.

12. По технологии при выпекании булочек на 1000 булочек приходится 5000 изюмин. Найти вероятность того, что в некоторой булочке будет 5 изюминок, 10 изюминок, 0 изюминок, хотя бы одна изюминка.

13. Страховая контора застраховала 10000 клиентов. Вероятность наступления страхового случая у этой группы клиентов за год равна 0,0006. Каждый клиент 1 января вносит страховой взнос 12 долларов (на год). При наступлении страхового случая контора выплачивает клиенту 1000 долларов. Найти вероятности событий:

А - контора за год потерпит убытки;

В - контора получит за год не менее 40000 долларов прибыли.