- •Раздел 1. Пространство элементарных событий (пэс). Операции над случайными событиями
- •Раздел 2. Классическое определение вероятности
- •Раздел 3. Условная вероятность. Независимость событий
- •Раздел 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Раздел 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Раздел 6. Испытания Бернулли
- •Раздел 7. Теорема Муавра-Лапласа и Пуассона
- •Раздел 8. Функция распределения и числовые характеристики случайной величины
- •Раздел 9. Основные типы распределений случайных величин
- •Раздел 10. Двумерные случайные величины. Зависимость случайных величин
- •Раздел 11. Предварительная обработка выборки. Эмпирическая функция рапределения. Точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности.
- •Раздел 12. Доверительный интервал
- •Раздел 13. Проверка статистических гипотез
- •Раздел 1
- •Раздел 5
- •Раздел 9
- •Раздел 10.
- •Раздел 11.
- •Раздел 12.
- •Раздел 13.
Раздел 12. Доверительный интервал
Сделано 4 измерения расстояния от орудия до цели дальномером с точностью σ = 40м. Среднее выборочное этих 4 измерений равно 2000 м. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния до цели при доверительной вероятности 0,95. Установить, сколько надо измерений, чтобы с той же вероятностью 0,95 точность оценки расстояния до цели составила 10м.
При исследовании содержания чистого серебра в 10 монетах «рубль», чеканившихся в Росcии с 1730 г по 1761 г, получена средняя величина 20,75г. Оценить истинное значение содержания серебра в монете «рубль» этого периода при уровне значимости 0,1, если среднеквадратичная погрешность применённого для анализа метода составляла 0,1г.
Для данных из условия задачи №4 из раздела 11 найти доверительный интервал для выборочного среднего при уровне значимости 0,2. Среднеквадратичное отклонение в генеральной совокупности считать равным 13с.
При тестировании общего интеллекта у 25 человек получен средний балл 45. Считая, что общий интеллект имеет нормальное распределение со среднеквадратичным отклонением 16 баллов, найти доверительную вероятность, при которой этот средний балл получен с точностью до 3 баллов, 5 баллов, 8 баллов.
Игровой автомат должен обеспечивать в среднем один выигрыш в ста играх. При его проверке в 400 играх было 5 выигрышей. Найти доверительный интервал для неизвестной вероятности выигрыша при доверительной вероятности 0,95.
Указание.При большом объёме выборкиnграницы доверительного интерваланаходятся по приближённым формулам
, где ν – точечная оценка параметраpпо выборке,- квантиль нормального распределенияN(0, 1).
Раздел 13. Проверка статистических гипотез
Для исследования возможности телепатии в НИИ психологии проведён опыт. В одной комнате сидел экспериментатор, который по сигналу брал один из лежавших перед ним картонных прямоугольников: чёрный, белый и полосатый. Сидящий во второй комнате второй экспериментатор по тому же сигналу выбирал один из таких же прямоугольников. Очевидно, что вероятность случайного совпадения выбранных прямоугольников равна . Произведя 100 наблюдений, экспериментаторы получили 39 совпадений выбранных прямоугольников. Проверить по правостороннему биномиальному критерию гипотезуо том, что в данном опыте телепатия не проявилась, при значениях уровня значимости α = 0,05 и α = 0,15.
Проведено 600 случайных бросаний игральной кости, при которых «6» выпало 75 раз.
а) По двухстороннему биномиальному критерию при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о симметричности и однородности этой кости.
б) По левостороннему биномиальному критерию при уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу о том, что вероятность выпадения «6» у данной кости равна 1/6.
При 4040 бросаниях монеты Бюффон получил 2048 выпадений «герба». По правостороннему биномиальному критерию при уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу о том, что монета была правильной, то есть, что вероятность выпадения «герба» для неё равна ½.
На факультете проведено выборочное тестирование 60 студентов. Результаты тестирования: оценку 4 получили 23 студента, 3 - 22 студента. Проверить по хи-квадрат критерию гипотезу о том, что уровень подготовки студентов распределён равномерно по этим градациям. Взять уровень значимости α = 0,1.
Метод генерирования случайных чисел был применён 250 раз и дал следующий результат
Цифра |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Частота появления |
27 |
18 |
23 |
31 |
21 |
23 |
28 |
25 |
22 |
32 |
Проверить для уровня значимости 0,1, что метод даёт случайные числа, то есть распределение цифр равномерное.
Датчик микрометеоритов, установленный на борту космической станции, за 12 часов наблюдения дал следующие данные о количестве микрометеоритов, попавших в станцию
№.ч. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
К.м. |
39 |
41 |
47 |
34 |
41 |
54 |
37 |
39 |
33 |
49 |
41 |
45 |
Можно ли считать поток микрометеоритов равномерным за время наблюдения? Уровень значимости взять равным 0,05.
Проверить при уровне значимости 0,1, что данная выборка получена из нормально распределённой генеральной совокупности
Гр. интерв. |
3 - 4 |
4 - 5 |
5 - 6 |
6 - 7 |
7 - 8 |
Частота |
5 |
15 |
23 |
9 |
6 |
.
По выборке, представленной статистическим рядом, проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности для значений уровня значимости 0,05 и 0,01.
Гр.инт. |
3,0 - 3,6 |
3,6 – 4,2 |
4,2 – 4,8 |
4,8 – 5,4 |
5,4 – 6,0 |
6,0 – 6,6 |
6,6 – 7,2 |
Частота |
2 |
8 |
35 |
43 |
22 |
15 |
5 |
Указание.В расчёте объединить интервалы 1 и 2, 6 и 7.
По выборке из задачи 4 раздела 11 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости 0,05.
Проверить, одинаковый ли уровень подготовки показали на экзамене две группы студентов. Взять уровень значимости 0,1.
а)
Оценка |
5 |
4 |
3 |
2 |
Частота в гр.1 |
9 |
6 |
9 |
4 |
Частота в гр.2 |
8 |
5 |
11 |
3 |
б)
Оценка |
5 |
4 |
3 |
2 |
Частота в гр. 1 |
9 |
4 |
9 |
3 |
Частота в гр. 2 |
2 |
3 |
12 |
6 |
В таблицу сопряжённости сведены оценки по математике, полученные студентами на экзамене, и средние оценки этих же студентов за текущую работу в семестре. Зависимы ли эти оценки?
Оценки на экзамене
Оценки за семестр
Взять уровень значимости 0,01.
Зависит ли результат опыта (0 или 1) от использованного катализатора? Проверить для уровня значимости 0,1.
|
1 |
2 |
3 |
0 |
11 |
17 |
16 |
1 |
22 |
23 |
19 |
При тестировании двух групп получены следующие оценки:
Группа 1 33, 19, 34, 25, 24;
Группа 2 32, 24, 28, 16.
Считая, что оценки по данному тесту имеют нормальное распределение, проверить гипотезу о равенстве средних оценок в этих группах. Взять уровень значимости 0,1.
Приведены оценки студентов данной группы по двум контрольным работам (КР).
КР1: 4 2 2 2 2 5 4 2 2 2 2 2 5 4 2 2
КР2: 5 4 4 2 2 5 4 2 2 3 4 2 5 4 3 4
Проверить при уровне значимости 0,01, улучшилась ли подготовка студентов ко второй контрольной работе.
Ответы