Раздел 10. Двумерные случайные величины. Зависимость случайных величин

1. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) задан таблицей

	Y = -1	Y= 0	Y = 1
X= 2	0,15	0,5	0,1
X= 3	0,1	0,1	0,05

1. Найти законы распределения случайных величин X иY.

2. Являются ли случайные величины X иY независимыми?

3. Найти математические ожидания дисперсии и среднеквадратичные отклонения случайных величин X иY.

4. Найти условные распределения Y|X= 2,Y|X= 3,X|Y= -1,X|Y= 0,X|Y= 1.

5. Найти условные математические ожидания M(Y|X = 2),M(Y|X = 3),M(X |Y = -1),

M(X |Y = 0),M(X |Y = 1).

6. Построить по точкам линии регрессии и .

7. Найти условные дисперсии D(Y|X=2),D(Y|X=3),D(X|Y= -1),D(X|Y= 0),D(X|Y= 1).

8. Построить по точкам скедастические линии D(Y|X =x) иD(X|Y=y).

9. Найти коэффициент корреляции случайных величин X иY.

10. Найти корреляционные отношения случайных величин X иY.

2. Закон распределения двумерной случайной величины (X,Y) задан таблицей

	Y= 2	Y= 3	Y = 4	Y = 5
X = 2	1/8	1/8	0	0
X= 3	1/16	1/16	1/16	0
X= 4	0	1/16	1/8	1/8
X= 5	0	0	3/16	1/16

1. Найти законы распределения случайных величин X иY.

2. Являются ли случайные величины X иY независимыми?

3. Найти математические ожидания дисперсии и среднеквадратичные отклонения случайных величин X иY.

4. Найти условные распределения Y|X= 2,Y|X= 3,Y|X= 4,Y|X= 5.

5. Найти условные математические ожидания M(Y|X = 2),M(X | Y =3),M(Y|X = 4),

M(Y|X = 5).

6. Построить по точкам линию регрессии .

7. Найти условные дисперсии D(Y|X=2),D(Y|X=3),D(Y|X=4),D(Y|X=5).

8. Построить по точкам скедастическую линию D(Y|X=x) .

9. Найти коэффициент корреляции случайных величин X иY.

10. Найти корреляционное отношение

3. При измерении веса (случайная величина Х) и роста (случайная величинаY) у 5 человек получены следующие данные:

X	52	54	63	64	72
Y	160	165	170	175	180

Составить таблицу распределения двумерной случайной величины ( X,Y) и найти коэффициент корреляции случайных величинX иY.

4.Доказать, что для независимых дискретных случайных величинX иY

Раздел 11. Предварительная обработка выборки. Эмпирическая функция рапределения. Точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности.

1. Из генеральной совокупности Хизвлечена выборка объёмаn= 10:

6, 3, 3, 4, 6, 1, 4, 3, 1, 6.

1. Записать вариационный ряд выборки. Найти размах выборки.

2. Составить таблицу эмпирического (выборочного) распределения .

3. Найти статистические ряды частот и относительных частот выборки. Оценить вероятности Р(Х= 3),Р(Х= 4),Р(Х= 5).

4. Построить гистограммы частот и относительных частот выборки. Сформулировать гипотезу о типе распределения генеральной совокупности.

5. Найти эмпирическую функцию распределения. Оценить вероятности .

6. Найти точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности.

2. Размах выборки оказался равным 0. Какое предположение о генеральной совокупности наиболее естественно?

3. Тестирование знаний 30 студентов дало следующий результат:

1 балл получил 1 студент,

2 балла получили 5 студентов

3 балла - 10 студентов

4 балла - 9 студентов

5 баллов - 3 студента

6 баллов - 2 студента.

Считаем результат этого теста случайной выборкой из генеральной совокупности – уровня знаний студентов всего курса.

1. Найти статистические ряды частот и относительных частот выборки. Оценить вероятности Р(Х= 3),Р(Х= 5).

2. Построить гистограммы частот и относительных частот выборки. Сформулировать гипотезу о типе распределения генеральной совокупности.

3. Найти эмпирическую функцию распределения. Оценить вероятности .

4. Найти точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности.

4. При апробации некоторого теста было изменено время решения одной контрольной задачи каждым из 50 тестируемых. Получены следующие результаты измерений (в сек.):

67 65 39 48 43 54 60 42 50 59

59 54 57 14 49 48 46 47 68 52

61 30 58 32 42 58 49 77 28 47

45 44 30 55 40 41 72 47 61 35

42 33 45 51 21 41 53 60 38 60 .

1. Найти группированные статистические ряды частот и относительных частот выборки при её группировке в 7 интервалов (размах выборки равен 63).

2. Построить гистограмму частот группированной выборки. Сформулировать гипотезу о типе распределения генеральной совокупности.

3. Найти точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности.

5. Построить полигоны частот и относительных частот выборки, представленной статистическим рядом

	1	2	4	5	7
	7	8	15	14	6

Найти выборочное среднее и несмещённую оценку дисперсии.

6. Найти эмпирическую функцию распределения по выборке, представленной статистическим рядом

1)

	1	3	5
	10	25	15

2)

	2	4	6
	3	4	3

7. Контроль качества производства некоторых изделий проводился по большому числу выборок объёма 3 изделия. Результат контроля сведён в статистический ряд относительных частот

	0	1	2	3
	0,4	0,45	0,1	0,05

где - среднее число бракованных изделий в выборке. Оценить процент брака, допускаемого при производстве этих изделий. (Данные в задаче смоделированы на партии из 25 изделий с 6 бракованными, брак 24%.)

8. Генеральная совокупность объёмом N= 10000 со случайной величинойX, принимающей целочисленные значения от -NдоN, моделируется с помощью последовательности изNопытов следующим образом. Значения, которое случайная величинаXпринимает вi-ом опыте, является абсциссой так называемой «блуждающей (по осиOx) точки.» Перед первым опытом «блуждающая точка» находится в точке 0 на осиОх.

Первый опыт.Производится одно бросание монеты. При выпадении герба «блуждающая точка» смещается по осиОх на 1 единицу вправо, т.е., а при выпадении цифры «блуждающая точка» смещается по осиОхна 1 единицу влево, т.е.

Второй опыт.Производится одно бросание монеты. При выпадении герба «блуждающая точка» смещается в точку, а при выпадении цифры – в точку. Таким образом,принимает одно из значений -2, 0, 2.

i-ый опыт. Производится одно бросание монеты., если выпал герб, или, если выпала цифра.

Таким образом проводится серия из Nопытов, в результате которой формируется генеральная совокупностьX.

Требуется:

1. Смоделировать описанной выше серией из 50 опытов выборку объёмом n= 50 из генеральной совокупностиX.

2. Построить статистический ряд частот и гистограмму выборки.

3. Сформулировать гипотезу о типе распределения генеральной совокупности.

4. Вычислить выборочное среднее.