3. 8. Обнаружение сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой

При работе систем обнаружения слабых сигналов, как правило, приходится иметь дело с сигналами, имеющими случайные значения амплитуд и начальных фаз. Такие сигналы можно записать в виде:

,

где B и b – случайные амплитудный множитель и фаза с плотностями распределения:

.

Аналогично предыдущему, корреляционный интеграл можно представить в виде двух квадратурных составляющих:

Следует отметить, что B – медленно изменяющаяся величина, практически постоянная в интервале [0,T ]. Корреляционный интеграл тогда равен , где.

Энергия флуктуирующего сигнала будет равна

(3.19)

где – энергия нефлуктуирующего сигнала приB = 1. Отсюда можно определить , усреднив (3.19) поB.

.

Тогда =1/ 2 и.

Используя выражения (3.14) и (3.19), можно записать отношение правдоподобия в виде

.

Теперь необходимо усреднить это выражение по случайным параметрам B и b:

Схема оптимального обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой не отличается от схемы оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой. По-прежнему оптимальной является квадратурная схема обработки. Плотность распределения вероятностей при отсутствии сигнала, как и ранее, описывается законом Рэлея:

В случае наличия сигнала на входе устройства закон распределения также будет рэлеевским, но с плотностью распределения

.

Это следует из того, что вследствие независимости сигнала и помехи , где– дисперсия сигнальной составляющей корреляционного интеграла.

Тогда условная вероятность ложной тревоги

. (3.20)

При обнаружении по стратегии Неймана-Пирсона

. (3.21)

Условная вероятность правильного обнаружения

_(3.22)

Здесь .

Подставляя сюда выражение (3.21), можно получить

. (3.23)

Выражение (3.23) устанавливает связь между условными вероятностями ложной тревоги и правильного обнаружения. Кривые обнаружения, рассчитанные по формулам (3.20) и (3.22), приведены на рис. 3.6 (штрихпунктирные линии). Из рисунка видно, что при увеличении отношения сигнал/помеха все кривые сначала растут медленно, а потом быстрее. При больших вероятностях правильного обнаружения кривые для сигнала со случайной начальной фазой и особенно для сигнала со случайными амплитудой и фазой смещены в сторону больших значений отношения сигнал/помеха. Наоборот, при малых вероятностях правильного обнаружения (P_D £ 0,2) кривые обнаружения для сигнала со случайными амплитудой и фазой идут выше соответствующих кривых для других двух сигналов. Это объясняется тем, что при равенстве энергий амплитуда сигнала со случайными амплитудой и фазой с вероятностью Р = 0,74 будет превышать амплитуду сигнала с полностью известными параметрами [8].

Значительно проще структурная схема оптимального обнаружителя с согласованным фильтром (рис. 3.11). Характеристики обнаружения такого обнаружителя могут быть определены в соответствии с выражениями (3.20)–(3.23). Однако в ряде случаев удобнее оказывается использовать несколько иной подход. Как указывалось ранее, случайные сигналы (и помехи) на выходе согласованного фильтра обычно можно считать распределенными по гауссовскому закону. При этом на выходе согласованного фильтра можно измерить дисперсии (или пропорциональные им мощности) помехи и смеси сигнала с помехой. Для наиболее распространенного случая независимости сигнала и помехи, где– дисперсия полезного сигнала. Тогда на выходе детектора помеха и смесь сигнала с помехой будут распределены по закону Рэлея:

.

Вероятность ложной тревоги

.

Отсюда пороговое значение

.

Аналогично, вероятность правильного обнаружения

или

,

где . Нетрудно убедиться, что, поскольку в выражение дляq входит максимальное значение сигнала, а в d – его среднеквадратическое значение.

Из изложенного видно, что оптимальные обнаружители на базе согласованных фильтров, имея те же характеристики обнаружения, что и корреляционные обнаружители, зачастую оказываются проще в реализации, так как не требуют наличия копии сигнала, задержанной на время распространения.