3. 3. Возможные решения при обнаружении сигнала

Выводы теории статистических решений могут быть успешно применены при обнаружении сигналов. При бинарном обнаружении на входе устройства обнаружения либо присутствует сигнал о наличии объекта (состояние A₁), либо этот сигнал отсутствует (состояние A₀ ). Устройство обнаружения при любом состоянии на входе может принимать два решения: либо решение о наличии сигнала (решение ), либо решение об отсутствии сигнала (решение). Тогда при работе такого устройства возможны четыре случая:

1. Сигнал на входе устройства присутствует (состояние A₁), и устройство обнаружения принимает решение о наличии сигнала. Такая ситуация называется правильным обнаружением, и безусловная вероятность существования такой ситуации

где – условная вероятность правильного обнаружения.

2. Сигнал на входе устройства отсутствует (состояние A₀), и устройство обнаружения принимает решение об отсутствии сигнала. Такая ситуация называется правильным необнаружением, и безусловная вероятность существования такой ситуации

где – условная вероятность правильного необнаружения.

3. Сигнал на входе устройства отсутствует (состояние A₀ ), но устройство обнаружения принимает решение о наличии сигнала (ошибка первого рода). Такая ситуация называется ложной тревогой, и безусловная вероятность существования такой ситуации

(3.6)

где – условная вероятность ложной тревоги.

4. Сигнал на входе устройства присутствует (состояние A₁), но устройство обнаружения принимает решение об отсутствии сигнала (ошибка второго рода). Такая ситуация называется пропуском цели, и безусловная вероятность существования такой ситуации

(3.7)

где – условная вероятность пропуска цели.

Нетрудно убедиться, что т. е. из четырех условных вероятностей независимыми являются только две. Из предыдущего ясно также, что соотношением междуи,иможно управлять, изменяя порогl₀ в выражении (3.5). Таким образом, встает задача об оптимальном выборе значения порога отношения правдоподобия l₀.

3. 4. Критерии оптимального обнаружения

В зависимости от имеющейся априорной информации о свойствах сигнала и помехи и от опасности ошибок первого и второго родов предложены различные критерии для выбора порога l₀. Если известна априорная вероятность появления сигнала и ошибкам первого и второго родов можно приписать определенные стоимости или штрафы, то можно говорить о некотором среднем риске r принятия неправильного решения:

где r_F – стоимость риска ложной тревоги; – стоимость риска пропуска цели. Если учесть равенства (3.6) и (3.7), а также то, чтоP(A₀)=1- P(A₁) , выражение для среднего риска можно записать в виде

Поскольку в соответствии с выражениями (3.2) и (3.3) вероятности ошибок P_F и зависят от разбиения области существования переменной (в нашем случае – области значений принятого колебанияx(t)) на подобласти, т. е. от выбора порога l₀ , то, минимизируя средний риск при измененииl₀, можно получить оптимальное значение порога. Этот критерий носит название критерия минимума среднего риска или критерия Байеса. Он применим в случае, когда можно указать стоимости ошибок r_F и и известна вероятность появления сигнала (объекта)Р(A₁).

В частном случае, если опасности ложной тревоги и пропуска цели одинаковы, т. е. критерий минимума среднего риска переходит в критерий идеального наблюдателя или критерий Зигерта-Котельникова:

Критерий идеального наблюдателя, как и критерий Байеса, требует знания вероятности появления сигнала (объекта). Однако зачастую при решении задач обнаружения эта вероятность заранее не известна. Часто нельзя указать и стоимости ошибок. В этих случаях применяется критерий Неймана-Пирсона. Согласно этому критерию, задаются некоторым малым допустимым значением вероятности ложной тревоги P_F и требуют максимизации вероятности правильного обнаружения P_D. При известной статистике (плотности распределения вероятностей) помехи по заданной условной вероятности P_F можно определить пороговое значение l₀ и по нему – условную вероятность правильного обнаружения.