МАТАН ЭКЗАМЕН

Как проходит экзамен

Экзамен письменный, продолжительность – 2 часа.

Билет содержит 5 вопросов. Из них 2 вопроса связаны с теоремами, которые были доказаны в лекциях, а остальные вопросы – это стандартные задачи вычислительного или теоретического характера (примеры таких вопросов приведены ниже).

Вопросы охватывают почти весь пройденный материал.

Недостаточно привести ответ, даже правильный. Любой ответ нужно обосновать.

Примерный критерий оценивания:

меньше трех верных ответов – неудовлетворительно;

3 верных ответа – удовлетворительно;

4 верных ответа – хорошо;

5 верных ответов+возможная беседа – отлично. В процессе беседы оценка может быть снижена с 5 на 4 и даже ниже, если окажется, что студент не знает основных определений.

Также будет учитываться работа в течение семестра.

Примерный характер вопросов в билетах

1. Предел и непрерывность. Задачи вычислительного характера 1. Ограничена ли данная последовательность х_n , n=1,2,… ?. 2. Найти lim х_n или доказать, что он не существует; 3. Дана функция . Найти точки разрыва функции или доказать, что их нет. 4. Укажите какой-нибудь интервал , на котором для данной функции существует обратная функция. 5. Найти область определения суперпозиции , где определена на заданном отрезке [c; d]. Задачи и вопросы теоретического характера Функция определена формулой. 1. Будет ли функция непрерывной, если и непрерывны? 2. Будет ли монотонной, если и монотонны? 3. Каков характер монотонности функции , если и возрастающие; и убывающие; одна из них возрастающая, а другая убывающая. 4. Равносильны ли следующие два утверждения: а) не имеет конечного предела при ; б) при 5. Равносильны ли следующие два утверждения: а) непрерывна в точке ; б)

Производная и дифференциал. Задачи вычислительного характера

1. Найти на графике функции точку, в которой касательная параллельна данной прямой.

2. .Даны две дифференцируемые функции. Найти тангенс угла, образованного графиками этих функций в точке их пересечения.

3. Дифференцируема ли в заданной точке ?

4. Каков порядок разности относительно ?

5. Используя дифференциал подходящей функции, вычислить приближенно одно из выражений вида: ,

6. Разложить функцию по формуле Тейлора (выписать 3-4 слагаемых).

Задачи и вопросы теоретического характера

1. Дифференцируема ли функция в точке , если диференцируема в точке и ?

2. Тот же вопрос, если .

3. Приведите пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке .

4. Приведите пример функции, которая не дифференцируема в некоторой точке , но при этом ее график имеет касательную в точке .

5. Останется ли верной формула , если в ней заменить на дифференцируемую функцию ?

С. Исследование функции. Задачи вычислительного характера

1. Функция задана явно или параметрически. Требуется найти: точки локального экстремума функции; точку на графике, в которой производная имеет локальный экстремум; точку на графике, в которой касательная не существует; интервалы выпуклости функции; асимптоты (или доказать, что их нет).

2. Найти уравнение касательной плоскости к графику заданной функции в заданной точке и вычислить углы между плоскостью и осями ОХ и ОУ.

3. В какой точке график функции имеет наибольшую кривизну?

4. Есть ли на графике точка, в которой кривизна наименьшая? Задачи и вопросы теоретического характера

1. Может ли дифференцируемая на (a; b) функция иметь на (a; b) более одного минимума и при этом ни одного максимума?

2. Верно ли, что из следует ? А обратное утверждение?

3. Будет ли четной производная четной функции? Тот же вопрос для нечетной ?

4. Верно ли обратное утверждение?

5. Будет ли периодической , если периодическая функция?

6. Будет ли периодической , если известно, что периодическая?

7. Будет ли монотонной в малой окрестности точки , если при n =1, 2, а ? Указание: нужно использовать формулу Тейлора.

8. Будет ли монотонной в малой окрестности точки , если при n =1, 2, 3 , а ?

9. Те же вопросы относительно выпуклости .

10. Пусть графики дифференцируемых функций и пересекаются в точке . Чему тогда равен при ?

11. Пусть прямая пересекает график дифференцируемой функции и в точке . Обозначим . Очевидно, при любом значении коэффициента функция при . При каком значении бесконечно малая будет иметь более высокий порядок, чем ?

12. Приведите пример функции, у которой график имеет разные асимптоты на и на .

13. Чему равна кривизна графика в точке перегиба?

Что нужно знать и уметь для успешной сдачи экзамена

Определения основных понятий

1. Числовые множества: ограниченность, супремум, инфимум.

2. Предел последовательности и предел функции.

3. Односторонние пределы.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие.

5. Непрерывность.

6. Производная.

7. Дифференциал.

8. Возрастающие и убывающие функции.

9. Выпуклость.

10. Экстремум.

11. Первообразная и неопределенный интеграл.

Теоремы, свойства, формулы (доказательства необходимы тем, кто претендует на 4 и 5)

1. Теорема о вложенных отрезках.

2. Теорема Вейерштрасса о выборе сходящейся подпоследовательности.

3. Основные теоремы о пределах.

4. Признаки существования предела последовательности.

5. Сравнение бесконечно малых.

6. Сравнение бесконечно больших.

7. Замечательные пределы.

8. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

9. Классификация точек разрыва.

10. Геометрический смысл производной.

11. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

12. Теорема Лагранжа.

13. Правило Лопиталя.

14. Признаки убывания и возрастания.

15. Необходимое условие экстремума.

16. 1-е достаточное условие экстремума.

17. 2-е достаточное условие экстремума.

18. Признаки выпуклости.

19. Кривизна кривой.

20. Геометрический смысл дифференциала.

21. Инвариантная форма дифференциала.

22. Формула Тейлора.

23. Таблица интегралов.