3. 5. Простейший обнаружитель Неймана-Пирсона

Рассмотрим простейший обнаружитель, работающий в соответствии с критерием Неймана-Пирсона и предназначенный для обнаружения в заданный момент времени детерминированного сигнала s на фоне гауссовского шума с нулевым средним и известной дисперсией . Фиксация момента обнаружения приводит к тому, что в выражении (3.4) для отношения правдоподобияn-мерная плотность распределения переходит в одномерную и может быть записана в виде

.

Так как при наличии сигнала x(t) = s + n(t), т. е. n(t) = x(t) – s, то плотность распределения смеси сигнала с помехой имеет вид

.

Тогда отношение правдоподобия запишется в виде

Первый множитель в этом выражении есть величина постоянная. Тогда отношение правдоподобия есть монотонная функция величины сигнала x, т. е. любому значению x соответствует определенное значение отношения правдоподобия l(x) (рис. 3.2).

Но в этом случае можно перейти от сравнения с порогом l₀ отношения правдоподобия l(x) к сравнению с порогом x₀ самих значений сигнала x. Тогда условная вероятность ложной тревоги

, (3.8)

где – интеграл вероятности. При заданной условной вероятности ложной тревоги из формулы (3.8) может быть определен порогx₀ :

(3.9)

где Ф^-1(а) – значение аргумента функции Ф(x) при ее значении, равном а.

Рис. 3.2

Аналогично может быть определена условная вероятность правильного обнаружения:

, (3.10)

так как .

Подставляя сюда выражение (3.9), окончательно можно получить

. (3.11)

Таким образом, при заданном значении порога x₀ условная вероятность правильного обнаружения зависит как от x₀, так и от величины сигнала s. Из выражений (3.10) и (3.11) видно, что при s = 0 P_D = P_F , при s = x₀ P_D = 1/2 , при s >> x₀ P_D®1.

На рис. 3.3 приведены так называемые кривые обнаружения, представляющие собой зависимость условной вероятности правильного обнаружения P_D от амплитуды сигнала s при заданных условных вероятностях ложной тревоги P_F. Видно, что чем меньше заданная условная вероятность ложной тревоги, тем больше сдвигаются кривые обнаружения вправо, т.е для обнаружения сигнала с заданной вероятностью требуются сигналы большей амплитуды. Можно также заметить, что кривые обнаружения начинаются со значений условной вероятности правильного обнаружения, численно равных заданным значениям условной вероятности ложной тревоги. При этом, как видно из рисунка, наклон кривых остается постоянным независимо от условной вероятности ложной тревоги.

Рис. 3.3

Этот же результат можно пояснить непосредственно по кривым плотностей распределения p_n(x) и p_sn(x), приведенным на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Участок под кривой p_n(x) справа от x₀ определяет условную вероятность ложной тревоги, под кривой p_sn(x) – условную вероятность правильного обнаружения. При смещении кривой p_sn(x) вправо, что соответствует увеличению сигнала s, вероятность правильного обнаружения возрастает.

Структурная схема простейшего обнаружителя Неймана-Пирсона состоит из одного блока – порогового устройства. На первый вход его подается входной сигнал x(t), на второй вход – пороговое значение x₀. Сравнивая значения x(t) c x₀, пороговое устройство в каждый момент времени вырабатывает решение о наличии или отсутствии сигнала.