Основы физической химии_Ерёмин
.pdf
|
Приложения |
|
|
|
427 |
||||||||||
Кинетические параметры гомогенных реакций |
|
|
Таблица П-13 |
||||||||||||
Первый порядок в газовой фазе |
E, кДж моль–1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Реакция |
|
|
|
|
A, с–1 |
|
|
|
|
|
|||||
C2H5Br → C2H4 + HBr |
|
|
|
|
7.2 1012 |
|
218.0 |
|
|
|
|
||||
C2H5Cl → C2H4 + HCl |
|
|
|
|
4 104 |
|
247.5 |
|
|
|
|
||||
CH3COOC2H5 → CH3COOH + C2H4 |
|
|
|
|
3.2 1012 |
|
200.5 |
|
|
|
|
||||
N2O5 → N2O4 + 1/2 O2 |
|
|
|
|
4.6 1013 |
|
103.5 |
|
|
|
|
||||
N2O4 → 2NO2 |
|
|
|
|
1016 |
|
|
54.4 |
|
|
|
|
|||
Циклопропан → пропен |
|
|
|
|
1.5 1015 |
|
272.8 |
|
|
|
|
||||
CH3Cl → CH3 + Cl |
|
|
|
|
2 1013 |
|
356.2 |
|
|
|
|
||||
Второй порядок в газовой фазе |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Реакция |
|
A, см3 моль–1 с–1 |
|
E, кДж моль–1 |
|
|
|
|
|||||||
H2 + C2H4 → C2H6 |
|
|
|
|
|
4 1013 |
|
|
180.5 |
|
|
|
|
||
H2 + I2 → 2HI |
|
|
|
|
1.6 1014 |
|
|
165.5 |
|
|
|
|
|||
2HI → H2 + I2 |
|
|
|
|
9.2 1013 |
|
|
186.4 |
|
|
|
|
|||
2NO2 → 2NO + O2 |
|
|
|
|
9.4 1012 |
|
|
112.6 |
|
|
|
|
|||
CH3 + CH3 → C2H6 |
|
|
|
|
1.03 104 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
CH3NH2 + BF3 → CH3NH2BF3 |
|
|
|
|
7.9 1011 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
Br + CH4 → HBr + CH3 |
|
|
|
|
|
5 1013 |
|
|
76.6 |
|
|
|
|
||
Br + H2 → HBr + H |
|
|
|
|
6.9 1013 |
|
|
74.2 |
|
|
|
|
|||
Cl + CH4 → HCl + CH3 |
|
|
|
|
2.5 1013 |
|
|
16.3 |
|
|
|
|
|||
Cl + H2 → HCl + H |
|
|
|
|
9.5 1013 |
|
|
23.0 |
|
|
|
|
|||
Третий порядок в газовой фазе |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Реакция |
|
A, см6 моль–2 с–1 |
|
E, кДж моль–1 |
|
|
|
|
|||||||
2NO + Br2 → 2NOBr |
|
|
|
2.7 1010 |
|
|
5.44 |
|
|
|
|
||||
2NO + Cl2 → 2NOCl |
|
|
|
|
4.6 109 |
|
|
15.5 |
|
|
|
|
|||
2NO + O2 → 2NO2 |
|
|
|
|
1.0 109 |
|
|
|
–4.7 |
|
|
|
|
||
Второй порядок в растворе |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Реакция |
|
|
|
|
Растворитель |
|
A, см3 моль–1 с–1 |
E, кДж моль–1 |
|||||||
CH3COOC2H5 + OH– → CH3COO– + |
|
|
|
H2O |
|
1.4 1010 |
|
|
46.9 |
||||||
+ C2H5OH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C2H5Br + OH– → C2H5OH + Br– |
|
|
|
|
C2H5OH |
|
4.3 1014 |
|
|
89.6 |
|||||
CH3Br + I– → CH3I + Br– |
|
|
|
|
H2O |
|
1.7 1013 |
|
|
76.6 |
|||||
C2H5ONa + C2H5I → C2H5OC2H5 + NaI |
|
|
C2H5OH |
|
1.5 1014 |
|
|
86.2 |
|||||||
CO2 + OH– → HCO3– |
|
|
|
|
H2O |
|
1.5 1013 |
|
|
38.2 |
|||||
(C2H5)3N + C2H5Br → (C2H5)4N+ + Br– |
|
|
|
C6H6 |
|
2.8 102 |
|
|
46.9 |
||||||
(C2H5)3N + C2H5Br → (C2H5)4N+ + Br– |
|
|
|
CH3COCH3 |
|
8.5 103 |
|
|
49.0 |
Приложения |
429 |
Натуральный логарифм ln x ln x = loge x
1.ln(xy) = ln x + ln y
2.ln(x / y) = ln x − ln y
3.ln (x y )= y ln x
4.ln 1 = 0
5.ln(1/ x) = − ln x
6.ln (e x )= x
7.ln x = ln(10) lg x = 2.303 lg x
8.Производная натурального логарифма: (ln x)′ = 1/ x
Факториал
Определение:
N ! = 1 2 ... N (N – натуральное число), 0! = 1.
Обобщение факториала на дробные числа – гамма-функция:
∞
x! = Γ(x + 1) = ∫t x e−t dt .
0
Оценка факториала при больших значениях аргумента (формула Стирлинга):
ln N ! ≈ N ln N − N (N >> 1).
Производная
Определение:
f ′(x) ≡ |
d |
f (x) = lim |
f (x + ∆x) − f (x) |
. |
dx |
|
|||
|
∆x→0 |
∆x |
Геометрический смысл:
f ′(x) = tgα, где α – угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке x.
Производная суммы:
dxd [af (x) + bg(x)]= a dxd f (x) + b dxd g(x) (a, b = const)
Производная произведения:
dxd [f (x) g(x)]= f (x) dxd g(x) + g(x) dxd f (x)
Производные простых функций: dxd x a = ax a−1
dxd eax = aeax
430 |
|
|
|
|
|
|
|
Приложения |
|
|
|
d |
ln x = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
d |
sin(ax) = a cos(ax) |
|
|
||||
|
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
cos(ax) = −a sin(ax) |
|
|
||||
|
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная сложной функции: |
||||||||
|
|
d |
f (g(x)) = |
d |
f (g) |
d |
g(x) . |
||
|
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dg |
dx |
Производные функции нескольких переменных
Частная производная функции f(x, y) по переменной x:
|
∂f |
|
|
f (x + ∆x, y) − f (x, y) |
|
|
f x ' ≡ |
|
= |
lim |
|
. |
|
∆x |
||||||
|
∂x y |
|
∆x→0 |
|
Частная производная по одной из переменных рассчитывается при постоянных значениях всех остальных переменных. Частные производные также являются функциями нескольких переменных.
Свойства частных производных:
1) |
|
∂f |
|
= |
|
∂f |
|
+ |
|
∂f |
|
∂y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∂x z |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
∂y x |
∂x z |
|||||||||||
2) |
|
∂y |
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∂x z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
|
∂x |
|
|
∂y |
∂z |
|
= −1 (цепное соотношение Эйлера) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∂y z |
|
∂z |
x |
∂x |
y |
|
|
|||||||||||||||
Вторые частные производные: |
||||||||||||||||||||||||||
∂ 2 |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∂f |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– чистая вторая производная |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
∂x |
y |
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂ 2 f |
= |
|
∂ |
∂f |
|
|
|
– смешанная вторая производная |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂y∂x |
|
|
∂y |
|
∂x y |
|
|
|
|
|
|
Соотношение взаимности: смешанные частные производные дважды дифференцируемой функции равны друг другу независимо от порядка
дифференцирования: |
∂ 2 |
f |
= |
∂ 2 |
f |
. |
|
∂y∂x |
∂x∂y |
||||||
|
|
|
Полный дифференциал функции двух переменных:
|
∂f |
|
∂f |
|
|
|
df = |
|
|
dx + |
|
|
dy . |
|
|
|||||
|
∂x y |
|
∂y x |
|
Выражение M (x, y)dx + N (x, y)dy является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных в том и только в том случае, когда
|
∂M |
|
∂N |
|
|
∂y |
|
= |
. |
|
x |
|
∂x y |
434 |
Приложения |
Дельта-функция представляет собой производную от ступенчатой функции Хевисайда:
δ(x) = dxd H (x) ,
0 при x < 0
1
где H (x) = при x = 0
2
1 при x > 0
Свойства дельта-функции
1)δ(ax) = 1a δ(x), a > 0
2)δ(− x) = δ(x) ,
3)f (x)δ(x) = f (0)δ(x) ,
4) δ( f (x)) = ∑ |
1 |
|
|
|
δ(x − xi ) |
, где xi – корни уравнения f(x) = 0. |
|||||||||||
|
f ′(xi ) |
|
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Интегральное представление дельта-функции |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ(x) = |
|
|
∫ eiωx dω |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аппроксимации дельта-функции (δ(x,α) → δ(x) при α → ∞) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
< x < |
|
1 |
|
|
|||
1) δ(x, α) = |
α |
при − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2α |
|
2α |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 при остальных x |
|
|
|
|||||||||||||
2) δ(x, α) = |
1 |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1+ α 2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) δ(x, α) = |
|
α |
|
exp(−α 2 x 2 ) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4)δ(x, α) = α sin(αx)
παx
Дифференциальные уравнения
Основные уравнения закона действующих масс в химической кинетике сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка вида
dxdt = f (x, t) ,
где x(t) – концентрация или давление, t – время, или к системам дифференциальных уравнений первого порядка
d |
x1 |
(t) |
f1 (x 1 |
,..., xn , t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
= K |
|
|
|
|||||
dt |
|
|
f n (x 1 |
|
|
|
xn |
(t) |
|
,..., xn , t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
435 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод разделения переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Уравнение первого порядка |
dx |
|
= f (x) |
c начальным условием x(0) = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
dt |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
имеет общее решение: |
t(x) = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Уравнение |
Начальное условие |
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
= −kx |
x(0) = a |
|
|
|
|
x(t) = ae−kt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
t(x) = |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
a − x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= k(a − x) |
x(0) = 0 |
|
|
x(t) = a(1− e−kt ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dx |
|
= k(a − x)n , n ≠ 1 |
|
|
|
|
|
|
t(x) = |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
x(0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k(n |
− 1) |
(a − x)n−1 |
|
a n−1 |
|
|
||||||||||||
|
dx |
|
= k(a − x)(b − x) , |
x(0) = 0 |
|
t(x) = |
|
|
1 |
|
|
|
ln |
(a − x)b |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
k(a − b) |
(b − x)a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a ≠ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−kt |
t |
|
|
|
kt |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
= −kx + f (t) |
x(0) = a |
|
x(t) = e |
|
a + |
|
|
f (t)e dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицы и определители
Если m n выражений расставлены в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A = |
|
|
|
a |
ik |
|
|
|
= |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 am2 |
am3 |
amn |
|
то говорят о матрице размера m × n. Выражения aik называют элементами матрицы. Матрица A размера n × n называется квадратной. Квадратная матрица порядка n называется:
•диагональной, если aik = 0 для всех i ≠ k,
•единичной, если aik = δ ik = {10 приприii =≠ kk .
Элементы, стоящие на диагонали квадрата, выходящей из левого верхнего угла в правый нижний, называют главными диагональными элементами. Элементы, стоящие на диагонали, выходящей из правого верхнего угла в левый нижний, называют побочными элементами.
Каждой квадратной матрице порядка n можно однозначно поставить в соответствие действительное или комплексное число D, называемое определителем матрицы:
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D = det A = det |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
= |
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
= ∑( − 1) |
Z (π) |
a1i1 a2i2 |
...anin |
, |
... |
... |
... |
... |
|
... |
... |
... |
... |
|
||||||
|
am1 am2 |
am3 |
amn |
|
|
am1 am2 |
am3 |
amn |
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где π – подстановка чисел 1, 2,…, n, а Z(π) – число инверсий подстановки.
436 |
Приложения |
Минором Mik элемента aik называют определитель порядка n – 1, получающийся из D «вычеркиванием» i-ой строки и k-го столбца. Под алгеб-
раическим дополнением Aik элемента aik понимают минор Mik, домноженный на (–1)i+k.
Свойства определителей
1. Перестановка строк может изменить лишь знак определителя. В общем случае
D(z1, z2, …, zn) = (–1)Z(π)D(zπ (1), zπ(2), …zπ(n)).
2. Общий для всех элементов строки множитель можно выносить за знак определителя
D(z1, z2, … αzk, …, zn) = αD(z1, z2, … zk, …, zn).
3. При сложении двух определителей, различающихся только одной строкой, соответствующие элементы этой строки складываются
D(z1, z2, … zk, …, zn) + D(z1, z2, …, z′k, …, zn) = D(z1, z2, …, zk + z′k, …, zn).
4. Прибавление кратного k-ой строки к i-ой строке не изменяет значение определителя
D(z1, z2, .., zi, … zk, …, zn) = D(z1, z2, .., zi + αzk,… zk, …, zn).
5. Определитель не изменяет своего значения при транспонировании (замене местами строк и столбцов).
Вычисление определителей
Определитель n-го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки (или столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения (теорема разложения):
D = ∑n aik Aik =∑n aki Aki .
i=1 i=1
Определитель n-го порядка обычно рассчитывают последовательным сведением к определителям более низких порядков вплоть до 2-го или 3-го.
Значение определителя 2-го порядка вычисляется по мнемоническому правилу: произведение главных диагональных элементов минус произведение побочных диагональных элементов
a11 |
a 12 |
= a a |
22 |
− a |
21 |
a . |
a21 |
a22 |
11 |
|
12 |
||
|
|
|
|
|
Значение определителя 3-го порядка вычисляется по правилу Саррюса: приписать к определителю два правых столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов, параллельных ей
a11 |
a12 |
a13 |
a11 |
a12 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
a21 |
a22 |
= |
a31 |
a32 |
a33 |
a31 |
a32 |
. |
|
= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 − a13a22 a31 − a11a23 a32 − a12 a21a33