Lektsia_21
.pdf
Лекція 21. Ряд Фур’є для -періодичних функцій. Ряд Фур’є для парних і непарних функцій. Ряди Фур’є для неперіодичних функцій заданих на відрізку або на відрізку .
Ряд Фур’є для -періодичних функцій.
Нехай функція |
визначена на відрізку |
|
має період |
( – довільне додатне число) і є на |
|
відрізку |
– кусково-монотонною. |
|
Розкладемо її в ряд Фур’є. Зробимо заміну змінної
і розглянемо функцію |
|
|
|
|
|
( |
|
) |
(1) |
|
|
|||
яка буде визначена на відрізку |
і є кусково- |
|||
монотонною на ньому. |
|
|||
Тоді функцію |
на |
можна розкласти в |
||
ряд Фур’є |
|
|
|
|
∑
∫ |
|
∫ |
|
∫
Перейдемо до змінної :
∑ ( |
|
|
|
) (2) |
|
|
∫ |
|
∫ |
|
(3)
∫
Ряд (2) є рядом Фур’є для функції з періодом
. Коефіцієнти цього ряду знаходяться за формулами
(3).
Ряд Фур’є для парних і непарних функцій.
Нехай функцію |
, яка має період |
, можна |
подати на відрізку |
рядом Фур’є. |
|
Якщо функція |
– парна, то її ряд Фур’є має |
|
вигляд |
|
|
∑ |
|
(4) |
|
де
∫ |
|
∫ |
|
(5) |
|
|
Якщо функція – непарна, то її ряд Фур’є має вигляд
∑ |
|
(6) |
|
∫ |
|
(7) |
|
Приклад. Розкласти в ряд Фур’є функцію, яка має період
| |
y
−3π −π 0 π 3π 5π x
Враховуючи, що – парна, то користуючись формулами (4), (5), одержуємо
Задана функція – кусково-монотонна і неперервна для . Тому може бути розкладена в ряд Фур’є.
∫ ∫
∫
( ) |
∑
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
Ця рівність виконується на всій числовій осі, тому що задана функція неперервна для
Приклад.
Розкласти в ряд Фур’є -періодичну функцію
{
Задана функція кусково-монотонна і має розрив 1-го роду в точках ; ; ; ; …
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
−3π |
−2π−π |
0 |
π |
2π 3π x |
|
|
−1 |
|
|
Функція |
– непарна, тому згідно формул (6) і (7) |
|||
одержуємо
∫ |
|
∫ |
|
|
Тоді
∑
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
для |
крім точок розриву. |
В точках |
вираховуємо суму |
даного ряду за формулою
Отже в точках розриву |
сума |
даного ряду дорівнює нулю. |
|
Випадок неперіодичних функцій.
Ряд Фур’є для функцій заданих на відрізку
або на відрізку |
. |
|
|
|
|
Нехай треба розкласти в ряд Фур’є функцію |
|||||
задану на відрізку |
. Ми можемо довільним |
||||
способом продовжити функцію |
на відрізок |
||||
; але так, щоб утворена на відрізку |
нова |
||||
функція |
збігалася з функцією |
при |
і |
||
була кусково-монотонною. |
|
|
|||
Розклавши функцію |
в ряд Фур’є на відрізку |
||||
, одержимо шуканий ряд функції |
при |
||||
. |
|
|
|
|
|
Якщо функцію |
|
продовжити парним способом |
|||
на відрізок |
|
, тоді графік функції |
|
||
буде симетричним відносно осі |
, а її ряд Фур’є |
||||
міститиме лише косинуси. |
|
|
|||
∑
де
∫ |
|
∫ |
|
Аналогічно, якщо продовжити на відрізок непарним способом, то графік функції
буде симетричним відносно точки , а її ряд Фур’є міститиме лише синуси.
∑
де
∫
Таким чином, задану на відрізку функцію , яка задовільняє на ньому умови теореми
Деріхле, хоча неперіодична, можна розкласти як в ряд по косинусах, так і в ряд по синусах.
Зауваження1 Якщо тригонометричний ряд (2)
збігається в проміжку (- |
до функції |
, |
|
враховуючи, що його члени мають період 2 , він |
|||
збіжний всюди , і його сума |
є теж періодичною |
||
функцією з періодом 2 . Але ця сума за проміжком
(- |
уже не співпадає з функцією |
|
|
|
Якщо функція |
визначена на відрізку |
, |
задовільняє на ньому умови теореми Деріхле, хоча неперіодична, то її можна періодично продовжити на всю числову вісь з періодом T=b-a.
Задача розкладу в ряд Фурє зводиться до розглянутої вище.