Lektsia_24
.pdfЛекція 24. Функції комплексної змінної. Неперервність
функції комплексної змінної. Диференціювання функції комплексної змінної. Елементарні функції комплексної змінної.
Якщо в області |
визначена функція |
, тоді |
|
кожній точці |
поставлена у відповідність одна |
||
(однозначна функція) або декілька (многозначна |
|||
функція) значень . |
|
|
|
Нехай |
; |
. Тоді залежність |
|
між комплексною функцією |
і комплексною |
||
змінною може бути задана за допомогою двох |
|||
дійсних функцій |
і |
дійсних змінних. |
|
Приклад. .
Нехай |
; |
Тоді
Отже рівність |
рівносильна двом |
||
рівностям |
|
|
|
{ |
|
|
|
Приклад 2. |
|
|
|
В яку криву відображається коло | |
| |
за |
|
допомогою функції |
? |
|
|
Так як | | |
, то | | | | |
| |
| |
Отже, якщо точка описує повне коло, то її образ описує коло | | два рази
Означення.
Функція називається однолисною функцією в області , якщо в різних точках цієї області вона приймає різні значення.
Неперервність функції комплексної змінної.
Означення.
Число |
|
називається граничним значенням |
||
функції |
|
в точці , якщо для |
можна знайти |
|
таке |
, що для всіх |
, які задовольняють умову |
||
| |
| |
виконується нерівність |
|
|
|
| |
| |
|
|
Означення. |
|
|
|
|
Функція |
задана на множині |
|
називається |
|
неперервною в точці |
, якщо для |
можна |
||
знайти таке |
, що для всіх |
, які |
||
задовольняють нерівність | |
| |
|
, виконується |
|
нерівність | |
| |
, тобто |
|
|
Для неперервності функції комплексної змінної
в точці |
необхідно і достатньо, щоб її |
||
дійсна і уявна частини – функції |
і |
– були |
|
неперервні в точці |
. |
|
|
Диференціювання функції комплексної змінної.
Нехай в області комплексної площини |
задана |
||||
функція |
. Якщо для точки |
при |
існує |
||
границя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то цю границю називають похідною функції комплексної змінної в точці і позначають , тобто
Функцію |
називають диференційовною в |
|||||||||
точці . |
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема1.Якщо функція |
|
|
|
|||||||
диференційовна в точці |
|
, то в точці |
||||||||
існують частинні похідні функції |
і |
|||||||||
по змінним |
, причому мають місце |
|
||||||||
формули |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Рівності (1) називають умовами Коші-Рімана.
Теорема2.Якщо в точці функції і диференційовні, а їх частинні похідні
задовольняють умови Коші-Рімана (1), то функція
|
|
є диференційовною |
|
|
функцією комплексної змінної в точці |
. |
|||
Означення.Якщо функція |
диференційовна у |
|
||
всіх точках деякої області |
, а її похідна неперервна в |
|
||
цій області, то функція |
називається аналітичною |
|
||
функцією в області . |
|
|
|
|
Із теорем 1,2 що необхідною і достатньою |
|
|||
умовою аналітичності функції |
|
|
||
|
|
в області є існування в цій |
||
області неперервних частинних похідних функцій |
|
|||
і |
які задовольняють умову Коші-Рімана. |
|||
Для любої аналітичної функції |
виконуються |
|
||
рівності: |
|
|
|
|
(2)
Елементарні функції комплексної змінної.
Лінійною функцією комплексної змінної називається функція виду
(3)
де |
– задані комплексні числа, причому |
. |
Функція (3) визначена при всіх значеннях незалежної змінної . Областю задання є повна комплексна площина .
Кожному значенню |
відповідає тільки одне |
||||
значення , тобто |
– однозначна функція . |
||||
Обернена функція |
|
|
|
|
також |
|
|
|
|||
однозначна. |
|
|
|
|
|
– однолисна функція на повній комплексній площині.
Лінійна функція аналітична в усій комплексній площині і її
Дробово-лінійною називається функція виду
де |
– задані комплексні числа, причому |
| |
Дробово-лінійна функція визначена для всіх значень незалежної змінної , крім ,
однозначна.
Так як обернена функція
однозначна вона однолисна в усій комплексній
площині, включаючи точку |
|
. |
|
||
Степенева функція |
|
|
(4)
де – натуральне число, аналітична в усій комплексній площині;
при відмінна від нуля в усіх точках, крім .
Запишемо в формулі (4) і в показниковій формі
(5)
Із формули (5)
Для двох комплексних чисел і , таких, що
| | | |
де – ціле число, переходять в одну точку .
= |
|
При |
відображення (4) не є однолистним |
на площині .
Обернена функція – корінь -ї степені
√
многозначна, так як для кожного комплексного числа можна вказати різних комплексних
чисел
√
таких, що .
Справді
√ =
Многочленом степені комплексної змінної називається функція
де – задані комплексні числа, причому
. Многочлен любої степені є аналітичною функцією на всій комплексній площині.
Дробово-раціональна функція
Дробово-раціональною функцією називається функція виду
(6)
де – многочлени комплексного змінного .
Функція (6) аналітична в усій площині, крім точок, в яких знаменник перетворюється в нуль.
Показникова функція
(7)
визначається як сума абсолютно збіжного в усій комплексній площині степеневого ряду.
Властивості
а) |
|
|
, де , |
– любі комплексні |
|
||
величини (теорема додавання) |
|
|
|
|
|||
б) |
|
|
|
|
, |
|
|
тобто |
є періодичною функцією з періодом |
. |
|||||
Функція |
аналітична на всій комплексній площині. |
||||||
Тригонометричні функції |
і |
визначаються |
|||||
степеневими рядами |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
які абсолютно збігаються при |
комплексному |
||||||||||
значенні . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функції |
|
і |
|
– періодичні з дійсним |
|
||||||
періодом |
і мають тільки дійсні нулі |
і |
|||||||||
|
|
|
відповідно, де |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для функцій |
|
|
|
мають місце формули |
|||||||
Ейлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |