Lektsia_15
.pdfЛекція 15. Знакопереміжні числові ряди.
Теорема Лейбніца. Знакозмінні числові ряди. Абсолютна та умовна збіжність.
Знакопереміжні ряди. Теорема Лейбніца.
Означення 1. Ряд
|
|
|
|
( |
)( |
) |
∑ |
( |
)( |
) |
(1) |
|
|
де |
|
; і сусідні члени мають різні |
||||||||||
знаки, називають знакопереміжним числовим |
||||||||||||
рядом. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Наприклад, ряд |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( )( ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∑( |
)( ) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
є знакопереміжним.
Теорема Лейбніца.
Ряд (1)
∑( )( )
збіжний, якщо:
а) починаючи з деякого номера, члени ряду за абсолютним значенням спадають:
б) |
. |
При цьому його сума додатна і не більша від першого члена ряду:
Приклад 1.
∑ ( ) ( ) +
а)
б) |
( ) |
Всі умови теореми Лейбніца виконуються, отже, такий ряд збігається за ознакою Лейбніца.
Наслідок. Абсолютна похибка від заміни суми збіжного ряду (1) його частиною сумою не перевищує модуля першого з відкинутих членів ряду, тобто
| |
Тобто, модуль n-го залишку |
збіжного ряду (1) |
||
не перевищує модуля ( |
) – го члена цього |
||
ряду, тобто |
|
|
|
| | |
|
|
|
Залишок збіжного ряду ∑ |
( ) |
: |
|
( ) |
( ) |
|
|
∑( |
) |
|
|
Це збіжний ряд, члени якого строго чергуються
| |
згідно теореми Лейбніца.
Приклад2. Обчислити з точністю до 0,01 суму ряду
∑ ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
1) Цей ряд знакопереміжний
2)
3)
Отже, цей ряд за теоремою Лейбніца збіжний і має певну суму S.
Для того, щоб обчислити цю суму з точністю до 0,01 треба взяти стільки його членів, щоб перший з наступних членів був за модулями менший від
0,01.
Тоді весь залишок ряду, починаючи з цього члена, буде менший від 0,01.
Отже, щоб знайти суму даного ряду з точністю до 0,01 потрібно взяти чотири члени ряду, а решту відкинути
∑( )
Приклад3 . Обчислити суму ряду
∑ ( )
з точністю |
. |
Оскільки: |
|
|
( ) . Тоді ряд із модулів |
||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
||
| | |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
∑
– ряд Діріхле ряд із модулів збігається за ознакою порівняння.
Отже, даний ряд збігається абсолютно.
За теоремою Лейбніца
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
| |
| |
Якщо:
,то
,то
,то
,то
Знакозмінні числові ряди. Абсолютна та умовна збіжність.
Означення 2. Ряд
∑ (2)
називають знакозмінним, якщо серед його членів є як додатні, так і від’ємні члени.
Наприклад
+
Знакопереміжні ряди - це окремий вид знакозмінних рядів.
Нехай заданий знакозмінний ряд (2)
∑
де – числа довільного знака.
Розглянемо ряд, складений з абсолютних значень членів ряду
| | |
| | |
| | |
∑| | |
(3) |
Означення 3.
Знакозміний ряд (2) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд (3).
Означення 4.
Якщо знакозмінний ряд (2) збіжний, а ряд складений з абсолютних величин (3) розбіжний, то ряд (2) називають умовно збіжним.
Теорема (Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду).
Будь-який абсолютно збіжний ряд – збіжний.
Зауваження. Обернене твердження хибне, тобто ряд (2) може збігатися, а ряд (3) -розбігатися.
Приклад3. Дослідити на абсолютну збіжність ряд
∑( ) |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
Цей ряд збігається за ознакою Лейбніца.
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+… |
|
|
|
|
|
гармонічний ряд розбіжний.
Отже, заданий ряд збігається умовно.
Приклад4. Дослідити на абсолютну збіжність ряд
∑
Так як
| |
ряд ∑ -збіжний, одержуємо,що за першою ознакою порівняння ряд, складений із абсолютних величин збігається.
Отже досліджуваний ряд абсолютно збіжний.
Зауваження 1. Для встановлення абсолютної збіжності знакозмінних рядів можуть бути використані всі ознаки збіжності, розглянуті в лекції 14 (Ознаки порівняння, ознака Даламбера, Коші, Раабе, інтегральна ознака Маклорена-Коші).
Зауваження 2. Ознаки розбіжності треба обережно використовувати.
1. Якщо |
| | |
і |
ряд розбіжний за необхідною ознакою.
2.Якщо ряд (3) із модулів членів знакозмінного ряду розбіжний, сам ряд (2) може збігатися. Ми маємо випадок умовно збіжного ряду.
3.Ознаки Даламбера, Коші можна перефразувати для знакозмінних рядів.
Ознака Даламбера.
Нехай задано знакозмінний ряд
∑
де – числа довільного знака.