Lektsia_18
.pdfРяди Тейлора і Маклорена. Розкладання елементарних функцій в ряд Тейлора і Маклорена.
Розглянемо степеневий ряд вигляду:
∑ |
|
|
(1) |
і степеневий ряд по степенях ( |
): |
||
∑ |
( |
) |
(2) |
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
Важливим є питання наперед задану функцію |
|||
розкласти по степенях |
(в частинному випадку |
||
по степенях ), тобто подати її в вигляді суми ряду (1)
або (2).
Нехай функція ( |
|
) має в точці і в деякому її околі |
|||||||||
похідні до ( |
)-го порядку включно, і нехай – |
||||||||||
довільне значення аргументу із вказаного околу |
|||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тоді справедлива формула Тейлора для |
||||||||||
функції |
( ) в околі точки |
: |
|
|
|
||||||
( ) |
( ) |
|
|
( ) |
( |
) |
( ) |
( |
) |
||
|
|
|
|||||||||
|
( |
)( |
) |
|
|
|
|
(3) |
|||
|
( |
) |
( ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
( |
) – залишковий член у формі Лагранжа. |
||||||||||||||||||||||
Отже функцію |
|
( ) можна розкласти в ряд: |
|||||||||||||||||||||
( ) |
( ) |
|
|
|
( ) |
( |
) |
|
|
( ) |
( |
|
) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
( |
)( |
|
) |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
( |
) |
( |
|
|
|
) |
( |
) |
( |
|
) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||
|
( |
)( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
називається рядом Тейлора для функції ( |
). |
||||||||||||||||||||||
Цей ряд має вигляд (2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
( |
) |
|
|
|
|
||||||
де |
( ) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
( |
)( |
) |
- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
коефіцієнти Тейлора.
Теорема.
Для того, щоб ряд Тейлора (4) збігався до функції
( ) в інтервалі( |
|
|
|
|
), тобто |
|
||||
( ) |
( ) |
( ) |
( |
) |
|
( ) |
( |
) |
||
|
|
|
||||||||
|
( )( |
) |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
необхідно і достатньо, щоб в цьому інтервалі функція мала похідні всіх порядків і залишковий член її
формули Тейлора (3) прямував до |
при |
|
( ) |
( |
) |
Якщо позначити -у частину суми ряду (4) через ( ), то формула Тейлора (3) матиме вигляд:
( ) |
( |
) |
( ) |
(5) |
Нехай ( ) – сума ряду (4), тобто |
||||
|
|
( ) |
( |
) |
Тоді із формули (5) випливає умова |
||||
|
( |
) |
|
(6) |
Навпаки, якщо виконується умова (6), одержуємо
( ) ( ).
Отже, функцію |
( ) можна розкласти в ряд Тейлора в |
інтервалі |
|
( |
) |
|
, тоді і тільки тоді, коли виконуються |
такі умови: |
|
1)Вона має похідні всіх порядків
2)Залишковий член формули Тейлора (3)
при
( ).
Безпосередня перевірка цих умов нерідко виявляється непростою задачею. Наступна теорема дає досить прості достатні умови розкладання функції в ряд Тейлора.
Теорема 2. |
|
|
|
Якщо функція |
( ) в інтервалі ( |
) має |
|
похідні всіх порядків, і існує число |
таке, що всі |
||
ці похідні при |
|
|
|
( |
) по абсолютній величині обмежені |
||
одним і тим самим числом |
|
||
| |
( )( |
)| |
(7) |
( не залежить від |
), то функцію |
( ) можна |
|
розкласти в ряд Тейлора.
|
Згідно теореми 1 досить перевірити умову (6) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
( )| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
| ( |
)( |
)| |
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
(8) |
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
||||||||
Побудуємо степеневий ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
| |
|
| |
|
|
|
|
|
|
(9) |
||
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Оскільки за умовою Даламбера: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
( |
) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
| |
| |
|
|
|||
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отже за ознакою Даламбера ряд (9) збіжний на всій числовій осі.
Якщо ряд (9) збіжний, тоді виконується необхідна умова
| |
| |
|
|
( |
) |
Отже з нерівності (8)
| ( |
)| |
|
|
|
| |
| |
( |
) |
|||||
одержуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
Теорема 3. |
|
|
|
|
|
|
Якщо функцію |
( |
) в інтервалі ( |
) |
|||
можна розкласти в степеневий ряд, то цей ряд єдиний і є рядом Тейлора даної функції.
Якщо |
|
, в формулі (4), тоді одержимо ряд |
|
||||||||||
( ) |
( |
) |
( |
) |
|
( |
)( ) |
|
(10) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ряд (10) за степенями |
називається рядом |
|
|||||||||||
Маклорена функції |
( ). |
|
|
|
|
|
|
||||||
Правило для розкладання функції в ряд: щоб |
|
||||||||||||
функцію ( |
) розкласти в ряд Маклорена, потрібно: |
|
|||||||||||
1) |
знайти похідні |
( ) |
( ) |
( )( |
) ; |
|
|||||||
2) |
обчислити значення похідних в точці |
|
; |
||||||||||
3) |
записати ряд Маклорена (10) для даної функції і |
|
|||||||||||
|
знайти інтервал його збіжності ( |
) |
|
||||||||||
4) |
визначити інтервал ( |
) в якому залишковий |
|
||||||||||
|
член формули Маклорена |
( ) |
|
при |
. |
||||||||
Якщо такий інтервал існує(він може відрізнятися від інтервалу збіжності ряду (10)), то в цьому інтервалі
функція |
( |
) і сума ряду Маклорена збігається. |
|||||
( ) |
( |
) |
( ) |
( ) |
( )( ) |
||
|
|
|
|
|
|||
Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функції
( |
) |
|
|
( |
) |
( )
Враховуючи, що
одержуємо
( )
( )
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
[ |
] |
|
|
|
( )
[ ]
Біноміальний ряд
( |
) |
( |
) |
( |
) ( |
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
Частинні випадки біноміального ряду
( |
) |
( |
) |
( )
Приклад 1. Розкласти в ряд Маклорена по степенях функцію
( )
√
Використовуючи формулу
( )
( )
( |
)( |
) |
( |
) ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( )
Покладемо |
замість : |
( )
( )
( )
Приклад 2.
Розкладемо раціональний дріб на суму елементарних дробів:
( )
( |
|
|
|
( ) |
|
) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
∑ ( |
|
|
|
) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Перший із рядів збігається при | | |
, другий при |
|||||||||||
| | |
. Сума рядів збігається на перетині цих множин, |
|||||||||||||
тобто при |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||
Приклад 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розкласти у ряд Маклорена функцію |
|
|||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Розкладемо на множники тричлен |
, |
|||||||||||
прирівняємо його до нуля і знайшовши корені, тобто
( |
|
) ( |
|
) ( |
)( |
) |
|
|
Отже,
(( |
)( |
)) |
( |
) |
( |
) |
Використовуючи формулу:
( |
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( )