Lektsia_18

одержимо

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

3х

f (x) cos

3

.

Обчислимо коефіцієнти Тейлора для

f x :

n

n

1

f

x 3

cos

3x

n

,

n ,

f 0

cos

,

3

2

3

2

n

n

n

f

0 3

cos

3

.

2

n 1

3 x

n 1

3

cos

3

Rn x

2

x

n 1

0

при n ,

x R,

n 1 !

Таким чином, маємо

n

n

3

cos

3

2

n

cos 3х

x

, x R.

3

n 0

n!

Приклад 5. Знайдемо перші три ненульові члени

x0

х

2

2

ряду Тейлора в околі точки

(за степенями

) для функції

f (x) ln 1 sin x .

Функція визначена і диференційовна на

x 2

.

інтервалі

Обчислимо коефіцієнти Тейлора

функції f (x) ln 1 sin x :

cos x

f

ln 2;

,

0;

f x

1 sin x

f

2

2

1

1

, f

;

f x

1

sin x

2

2

1

1

1

1

2

x 2

n 1

x 2

n

x 3 2

52

5n1

x

3

5

5

n 1

n

x 2

,

x

7;

3 .

5

n 2

n0

Приклад 10. Користуючись розкладом у ряд

f (x)

х8

Маклорена функції

1 х2 , обчислимо

значення

f (14) (0) .

f x x8

1

x8 1 x2 x4 x6

x2n

1 x2

x8 x10 x12 x14 x2n ,

x

1.

Але будь-який розклад f x в степеневий ряд за

степенями

є її рядом Маклорена. Оскільки у ряді

f 14 0

він згідно розкладу рівний , то

f 14 0 14!

x

ln 1 x .

ln 3 ln 1

3

x

1

x

2

n 1

1 x n

f x ln 3

1

3

2 3

n 3

x

x

x

1

n 1

2

3

n

1

n

x

ln 3

n

1 x .

2

3

n

n

3

n 1

Ряд збігається на перерізі двох множин

x

3 і

x

1,

x

тобто при

1;1 .

x

sin t

si(x)

dt

0

t

.

si x

x

1

t

3

t

5

1 n

t

2n 1

t

dt

t

3! 5!

2n 1 !

0

x

t

2

t

4

1 n

t

2n

1

dt

3! 5!

2n 1 !

0

x3

x5

n

x2n 1

x

1

3 3!

5 5!

2n 1 2n 1 !

x

2n 1

1 n

.

n 0

2n 1 2n 1 !