Lektsia_1
.pdf
Лекція 1. Подвійний інтеграл. Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування та властивості.
Геометричне трактування подвійного інтегралу. Задача про об’єм циліндричного тіла.
Рис. 1. |
Рис. 2. |
|
Нехай маємо тіло, обмежене зверху поверхнею |
( ) |
, |
знизу – замкненою обмеженою областю площини |
, з боків – |
|
циліндричною поверхнею з твірними паралельними осі .
Потрібно знайти об’єм тіла. Для цього довільним способом
розіб’ємо область |
на частин , площі яких дорівнюють |
||
. |
|
|
|
У кожній області |
виберемо довільну точку |
( |
). Об’єм |
окремого стовпчика наближено дорівнює ( |
) |
. Сума всіх |
|
стовпчиків відповідно
∑ ( )
Нехай |
( ) – найбільший із діаметрів частин . Тоді |
об’єм даного тіла: |
|
∑ ( ) |
(1) |
Визначення подвійного інтегралу. Умови його існування та властивості.
Нехай в замкненій обмеженій області визначена функція ( |
). |
||
Розіб’ємо обл. |
на частин , площі яких |
. |
|
У кожній обл. |
візьмемо довільну точку ( |
) і утворимо суму |
|
∑ ( )
Цю суму будемо називати інтегральною сумою для функції |
( |
) в |
|||
області . |
|
|
|
|
|
Нехай |
( ) – найбільший із діаметрів областей . |
||||
Якщо існує границя інтегральної суми при |
, яка не залежить від |
|
|||
способу розбиття області D на частинні області |
ні від вибору точок |
в |
|||
них, то така границя називається подвійним інтегралом функції |
( |
|
) в |
||
області
( |
) |
∑ ( |
) |
(2) |
В цьому випадку функція ( |
) називається інтегровною в області |
|
||
,– областю інтегрування.
Враховуючи (1) і (2), одержимо формулу для вирахування об’єму циліндричного тіла
( |
) |
(3) |
|
|
|
Теорема (Достатня умова інтегровності функції). Якщо функція ( |
) |
|
неперервна в замкненій обмеженій області , то вона інтегровна в цій |
|
|
області. |
|
|
Довільна неперервна в області |
функція є інтегровною, але не всяка |
|
інтегровна функція є неперервною. |
|
|
Вирахування подвійного інтегралу. Зведення подвійного інтегралу до повторного.
Розглянемо циліндричне тіло, розглянемо спочатку простий випадок
області |
: { |
} |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
S(x0) |
|
|
|
|
c |
d |
y |
|
|
b |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
Тоді подвійний інтеграл (3) виражає об’єм циліндричного тіла.
Обчислимо цей об’єм за допомогою методу паралельних перерізів
|
|
∫ |
( ) |
|
|
(4) |
де ( ) – площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі |
; |
|||||
|
– рівняння площин, які обмежують дане тіло. |
|
||||
Знайдемо тепер площу ( |
): |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
∫ |
( |
) |
|
Для всіх |
: |
|
|
|
|
|
|
( ) |
∫ |
( |
) |
|
(5) |
Підставимо (5) в (4), одержимо
∫∫ ( )
Подвійний інтеграл привели до повторного.
|
Розглянемо загальний випадок області |
, яка обмежена двома |
|||
неперервними кривими |
( |
) та |
( ) і двома прямими |
||
та |
; ( ) |
( ) |
( |
). |
|
|
|
y |
|
2(x) |
|
|
1(x) |
|
a |
|
x |
x0 |
b |
Рис. 2
Різниця з попереднім випадком полягає в тому, що раніше при |
|
|||||
любому фіксованому |
|
зміна |
була в тому самому проміжку |
, |
||
а тепер цей проміжок |
( |
) |
( ) |
сам залежить від . |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
∫ |
( |
) |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
Для всіх |
: |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
∫ |
( |
) |
|
(6) |
( )
Підставимо ( ) в (4), одержимо
( )
∫ ∫ ( )
( )
Враховуючи формулу (3):
( )
( ) ∫ ∫ ( )
( )
Властивості подвійних інтегралів.
10 Сталий множник можна винести за знак подвійного інтеграла
( ) |
( ) |
20 Якщо в області |
інтегровні функції |
( |
) і ( |
), то інтегровна |
||
також функція ( |
) |
( |
), причому |
|
|
|
( ) |
( ) |
|
|
( ) |
( ) |
|
30 Якщо область інтегрування інтегровної функції ( |
) розбити на |
|
області |
і , тоді |
|
( ) ( ) ( )
40 Якщо для інтегровних в |
функцій |
( |
) і |
( |
) виконується |
|
нерівність |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
тоді |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
( |
|
) |
50 Якщо інтегровна в функція ( ) яка має площу задовольняє нерівність
( )
тоді
( ) |
, |