Lektsia_15
.pdfЯкщо існує границя |
| |
| |
, тоді |
||
|
|
|
|||
| |
| |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
а) якщо |
, тоді ряд |
un |
– абсолютно |
||
n1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
збіжний.
б) якщо
в) якщо не вирішене.
|
|
|
|
, тоді ряд |
un |
-розбіжний. |
|
n1 |
|||
|
|
, тоді питання про збіжність ряду
Ознака Коші.
Нехай задано знакозмінний ряд
∑
де – числа довільного знака.
Якщо існує границя |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
тоді |
||||
|
√ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
а) якщо |
, тоді ряд |
un |
– абсолютно |
|||
n1 |
||||||
|
|
|
|
|
||
збіжний.
б) якщо
в) якщо не вирішене.
|
|
|
|
, тоді ряд |
un |
-розбіжний. |
|
n1 |
|||
|
|
, тоді питання про збіжність ряду
Приклад . Дослідити на збіжність знакозмінний ряд
∑( )
( )
Спочатку розглянемо ряд із модулів членів даного ряду
∑
Застосуємо ознаку Даламбера
| |
| | |
( |
) |
( |
) |
( |
)( ) |
Отже, досліджуваний ряд – збігається абсолютно.
Приклад . Дослідити на збіжність знакозмінний ряд
∑( )
( )
Розглянемо спочатку ряд із модулів членів даного ряду
∑
| |
Тобто, за достатньою ознакою розбіжності ряд із модулів членів даного ряду – розбіжний. Так як | | , то і . Отже
досліджуваний ряд теж розбіжний.
Приклад . Дослідити на збіжність знакозмінний ряд
∑ |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||||||||||||
|
( |
) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ √ √ |
√ |
|
|||||||||||
Розглянемо ряд із модулів
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
– узагальнений гармонічний ряд; |
|
– |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
ряд розбіжний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Розглянемо ряд ∑ |
( ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
√ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Використовуючи теорему Лейбніца |
|
|
|||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд збіжний. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отже досліджуваний ряд – умовно збіжний.
Теорема Якщо ряд (2)абсолютно збігається, то
ряд, одержаний із цього ряду перестановкою
членів ряду, також збігається і має таку саму суму, як і вихідний ряд.
Теорема Рімана. Якщо ряд (2) збігається умовно, то яке б не було наперед взяте число S,
можна так переставити члени в цьому ряді, що перетворюваний ряд мав суму саме S.