posobie-fa-2015
.pdfд) |
M = fsin tg 2[a;b); |
|
|
|
|
|
||||
е) |
M = fsin(t + )g 2[a;b); ж) O M = fsin(t + n)gn2N; |
|||||||||
з) |
M = {et } 2[0;+1)1; |
|
||||||||
и) |
M = {arctg (t |
|
)} 2R; |
|
||||||
2 |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
к) |
|
|
p3 t)} |
? |
||||||
M = {n ( 3 t + n |
|
|||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
||
n2N
6.21.Являются ли следующие множества предкомпактными (компактными) в пространстве C[a; b]:
а) |
x |
|
C1[a; b]: x(t) |
|
6 B0; x′(t) |
6 B1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||
б) |
{x |
2 |
C1[a; b]: |
jx(a)j |
6 B0; j x′(t)j |
6 B1} ; |
|
|
|
|
||||||||||
в) |
{x |
2 |
C2[a; b]: |
jx(t) j |
6 B0; |
jx′(t) j |
6 B1;} |
|
|
|
|
|||||||||
|
{ |
2 |
|
|
jx′′(tj) 6 B2 j; |
j |
|
|
|
|
|
|
||||||||
г)O x |
|
C2[a; b]: |
jx(t) |
|
6j |
B0; |
}x′′(t) 6 B1 |
; |
|
|
|
|||||||||
д) |
{x |
2 |
C2[a; b]: |
jx′(t)j |
6 B0; j x′′(t)j |
6 B1} |
; |
|
|
|
||||||||||
|
{ |
2 |
|
|
j |
|
|
6 |
|
|
|
j |
|
j |
} |
|
|
|
|
|
е) |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
6 L |
|
|
; |
|||||
x |
2 |
C[a; b]: |
j |
x(t) |
j |
|
|
B0; |
j |
x(t1) x(t2) |
t1 |
t2 |
||||||||
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
|
j} |
||||
ж) |
{x 2 C[a; b]: |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
||
|
|
|
x(t) = ∫a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y( ) d ; y 2 L1[a; b]; jy( )j 6 B ? |
|||||||||||||||||
6.22.Доказать предкомпактность следующих множеств в пространстве C[0; 1] над полем P = R:
а)O |
{x 2 C1 |
[0; 1]: ∫0 |
1 |
(jx′(t)j2 + jx(t)j2) dt 6 B} ; |
|
б) |
{x 2 C1 |
[0; 1]: |
|
|
|
|
∫0 |
1 jx′(t)jpdt 6 1; 1 < p < 1; jx(0)j 6 1} : |
|||
71
6.23.Являются ли следующие множества предкомпактными в пространстве L2[0; 1]:
а) M = ft g > 12 ;
б) |
M = f(ln t)ngn2N; |
в) |
M = {x 2 L2[0; 1]: |
∫ t ∫ 1 } x(t) = y( ) d ; jy( )j2d 6 1 ?
00
6.24.Являются ли следующие множества предкомпактными
впространстве L2(R):
{}
а) |
M = |
1 |
; |
|
1 + (t + )2 |
||||
|
|
2R |
||
|
|
jtj |
||
б) |
M = |
? |
||
|
{ |
1 + (t + )2 |
}j j<1; 2( 41 ; 21 ) |
6.25.Пусть X – одно из пространств c0; c; ℓp (1 6 p 6 1);
{}
1 |
|
M = x 2 X : j kj 6 k 3 |
: |
Будет ли множество M компактным в X?
6.26.Доказать, что множество
M = {x 2 ℓ3 : |
1 j kj3 ln(k + 1) 6 1} |
: |
|
∑ |
|
|
k=1 |
|
компактно в пространствах c0; c; ℓp (3 6 p 6 1):
6.27.Доказать, что множество
{}
M = x 2 ℓp : j kj 6 j k0j
компактно в пространствах ℓp (1 6 p < 1) () x0 = f k0g 2 ℓp:
72
6.28.Доказать, что множество
M = {x 2 ℓp : |
1 j kjpj kj 6 1; k ̸= 0; k 2 N} |
|
∑ |
|
|
k=1 |
компактно |
в пространствах ℓp; 1 6 p < 1; () |
|
k |
1 |
: |
!k |
|
|
|
!1 |
|
6.29.Доказать, что множество M предкомпактно в пространстве s ()
8 k 2 N 9 Ck > 0 8 x = f kg 2 M j kj 6 Ck:
6.30.Пусть A и B – подмножества нормированного пространства X. Доказать, что
а) A и B – компакты ) множество A + B – компакт;
б) A и B – предкомпакты ) множество A + B – предкомпакт;
в) A – компакт, B замкнуто ) множество A + B замкнуто. Будет ли A + B замкнутым, если A и B замкнуты?
6.31.Всегда ли достигается расстояние между точкой и замкнутым множеством в полном нормированном пространстве?
6.32.Пусть A – компактное, а B – замкнутое множества в метрическом пространстве X; и A \ B = . Доказать, что (A; B) > 0.
6.33.Пусть A и B – компактные множества в метрическом пространстве, A \ B = . Доказать, что расстояние между ними достигается на некоторой паре точек, т. е.
9 x 2 A; y 2 B (A; B) = (x; y):
73
6.34.Докажите, что в нормированном пространстве расстояние от точки до любого конечномерного линейного подмножества достигается.
74
Тема 7. Выпуклые множества, подпространства в нормированных пространствах
Определение 7.1. Множество M называется
3 выпуклым в линейном пространстве, если
8 x; y 2 M 8 2 (0; 1) x + (1 )y 2 M;
3 строго выпуклым в нормированном пространстве, если
◦
8 x; y 2 M 8 2 (0; 1) x + (1 )y 2M:
Определение 7.2. Нормированное пространство X называется строго выпуклым, если его единичный шар B[0; 1] – строго выпуклое множество.
Определение 7.3. Нормированное пространство X называется строго нормированным, если в нем
x + y = x + y ; x ≠ 0; y ≠ 0; =) 9 > 0 y = x:
Теорема 7.1. Нормированное пространство строго нормированно () оно строго выпукло.
Определение 7.4. Пусть X – нормированное пространство. Множество M X называется линейным многообразием, если
8 x; y 2 M x + y 2 M |
(линейность); |
8 x 2 M 8 2 P x 2 M |
(однородность): |
Замкнутое линейное многообразие называется подпространством X.
Определение 7.5. Пусть M – подмножество линейного пространства X. Линейной оболочкой M множества M называется наименьшее линейное многообразие, содержащее M.
75
Линейная оболочка любого непустого множества M X обязательно существует и совпадает с пересечением всех линейных многообразий, содержащих M. Линейную оболочку мно-
жества M составляет множество всевозможных линейных ком-
∑n
бинаций kxk конечных наборов элементов fxkgnk=1 M и
k=1
коэффициентов f kgnk=1 P:
Определение 7.6. Пусть M – подмножество линейного пространства X. Выпуклой оболочкой conv M множества M называется наименьшее выпуклое множество, содержащее M.
Выпуклая оболочка любого непустого множества M X обязательно существует и совпадает с пересечением всех выпуклых множеств, содержащих M. Выпуклую оболочку мно-
жества M составляет множество всевозможных выпуклых ком-
∑n
бинаций kxk конечных наборов элементов fxkgnk=1 M и
k=1
коэффициентов f kgnk=1 R таких, что k > 0; 1 6 k 6 n; и
∑n
k = 1:
k=1
Пример 7.1. Будут ли следующие множества выпуклыми
в пространстве Rn: |
1 |
6 1} ; |
|
∑ |
|||
n |
|
||
а) M = {x 2 Rn : k=1 j kj3 |
|||
∑ |
|
6 1}? |
|
n |
|
||
б) M = {x 2 Rn : k=1 j kj3 |
|||
Решение. а) Заметим, что |
|
||
n |
j kj3) |
1 |
|
3 |
|||
∑ |
= x ℓ3n : |
||
( |
|||
k=1 |
|
|
|
Значит, M = B[0; 1] ℓn3 : Покажем, что это выпуклое множество.
76
Пусть x′; x′′ 2 M, 2 (0; 1): Тогда для x = x′ + (1 |
)x′′ |
|||||||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ℓ3n = x′ + (1 )x′′ ℓ3n 6 x ℓ3n + (1 ) x′′ ℓ3n 6 1; |
|
|
||||||||||||||||||
т. е. x 2 B[0; 1] и множество M выпукло. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
Покажем, что |
множество M не является выпуклым. |
||||||||||||||||||
Возьмем x′ = (1; 0; 0; : : : ; 0); |
x′′ = (0; 0; : : : ; 0; 1) |
2 Rn; |
= |
1 |
: |
|||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
x = x′ + (1 )x′′ |
= ( |
|
|
; 0; 0; : : : ; 0; |
|
) |
|
|
|
||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
и |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
( |
|
) |
|
+ ( |
|
) |
|
= p3 |
|
= 23 > 1; |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
т. е. x ̸2M; а значит множество M не выпукло. |
|
|
|
, |
||||||||||||||||
Пример 7.2. Будет ли множество |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
M = {x 2 L2[ 1; 1]: |
1 |
|
|
|
|
|
x(t) dt = 0} |
|
|
|
|||||||||
|
∫ 1 4 1t |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|||
подпространством в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
L2[ 1; 1]; б) |
|
L1[ 1; 1]? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Из включения L2[ 1; 1] L1[ 1; 1] (см. задачу 10.8) следует, что M L2[ 1; 1] L1[ 1; 1]:
Множество M – линейное многобразие, так как для любых x1; x2 2 M и 1; 2 2 P
∫ |
1 |
4 1t |
|
( 1x1(t) + 2x2(t))dt = 0: |
|
1 |
|
||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
j |
j |
||
Докажем, что |
множество M замкнуто в пространстве |
||||
L2[ 1; 1] и незамкнуто в пространстве L1[ 1; 1]:
77
а) Пусть fxng M и xn!n!1 x в пространстве L2[ 1; 1]: Неравенство Коши – Буняковского дает следующую оценку:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
j j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
1 4 1t |
x(t) dt |
= ∫ |
1 4 |
1t |
(x(t) xn(t)) dt 6 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6 ( |
∫ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(∫ |
1 |
|
|
|
|
|
|
) |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
||||||||||||||
|
|
dtt |
) |
|
|
2 |
1 jx(t) xn(t)j2dt |
|
|
|
|
|
|
4 1t |
|
x xn : |
||||||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||
Следовательно, x |
|
M и множество M замкнуто в простран- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
стве L2[ |
1; 1]; а значит является подпространством в L2[ 1; 1]: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Рассмотрим последовательность fxng M; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
tj 4 ; t 2 [ 1; n) ; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t) = > |
|
|
0; t |
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
n |
; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
( |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
t |
4 ; |
|
t |
|
|
|
; 1 |
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
j j |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
4 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и элемент x(t) |
|
= |
sgn t jtj |
|
|
2 |
L1[ |
|
|
1; 1]: В |
пространстве |
|||||||||||||||||||||||
L1[ 1; 1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
x = |
n |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 jtj 4 dt!n |
!1 |
|
|
0: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Однако x ̸2L2[ 1; 1], а значит, x ̸2M. Это означает, что множество M незамкнуто, следовательно, оно не является подпространством в L1[ 1; 1]: ,
Пример 7.3. Доказать, что пространство C[a; b] не является строго нормированным.
Решение. Достаточно привести пример отрезка [x1; x2], который принадлежит единичной сфере S[0; 1] пространства C[a; b] (см. задачу 15.15). Рассмотрим две функции:
|
t |
a |
|
x1(t) = |
|
|
; x2(t) 1: |
b |
a |
||
78
Обе функции линейные и x1(a) = 0; x1(b) = 1; следовательно,x1 = x2 = 1; т. е. x1; x2 2 S[0; 1]: Для функции
φ (t) = x1(t) + (1 )x2(t) = |
t a |
+ (1 ); 2 [0; 1]; |
|
b a |
|
||
имеем φ (a) = 1 ; φ (b) = 1. Так как φ – линейная функция, то φ = 1. Следовательно, φ 2 S[0; 1] для любого2 [0; 1]: Значит, [x1; x2] 2 S[0; 1] и пространство C[a; b] не является строго нормированным. ,
7.1.Доказать, что пересечение любого семейства выпуклых множеств из линейного пространства – выпуклое множество. Является ли выпуклым объединение двух выпуклых множеств?
7.2.Пусть fMkgnk=1 – семейство выпуклых множеств из линейного пространства над полем P, f kgnk=1 P. Доказать, что множество
∑n
kMk
k=1
выпукло.
7.3.Множество x0 + L, где L – линейное многообразие из линейного пространства, называется афинным многообразием. Доказать, что всякое афинное многообразие является выпуклым множеством. Будет ли оно линейным многообразием?
7.4.Доказать, что замыкание выпуклого множества из нормированного пространства – выпуклое множество. Является ли замкнутой выпуклая оболочка замкнутого множества?
7.5.Доказать, что внутренность выпуклого множества из нормированного пространства выпукла.
79
7.6.Доказать, что шары B[x0; r]; B(x0; r) из нормированного пространства выпуклы. Будет ли выпуклым множеством сфера S[x0; r]?
7.7.Доказать, что аксиома треугольника в определении нормы эквивалентна выпуклости шара B[0; 1].
7.8.В пространстве ℓ1 найти плотное выпуклое множество, не совпадающее с ℓ1.
7.9.Будут ли следующие множества выпуклыми в вещественном пространстве C[a; b]:
а) |
алгебраические многочлены степени точно n; |
б) |
алгебраические многочлены степени не выше n; |
в) |
непрерывные возрастающие функции; |
г) |
непрерывные монотонные функции; |
д) |
M = fx 2 C[a; b]: x Lp p[a;b] 6 rg; |
е) |
M = fx 2 C[a; b]: x(t) < x0(t); t 2 [a; b]g, где x0 – |
|
некоторая функция из C[a; b]? |
7.10.Доказать, что следующие множества являются выпуклыми в пространстве ℓ2:
а) параллелепипед
fx = f kg 2 ℓ2 : j kj 6 k; f kg 2 ℓ2g;
б) эллипсоид
{x 2 ℓ2 : ∑1 k 2 6 1; f kg 2 ℓ1; k ≠ 0} :
k=1 k
Компактны ли они?
7.11.Пусть X0 – конечномерное линейное подмножество в нормированном пространстве X. Доказать, что X0 – подпространство в X.
80