posobie-fa-2015

Тема 5. Непрерывные и равномерно непрерывные отображения. Сжимающие отображения

Определение 5.1. Пусть X и Y – метрические пространства. Отображение F : X ! Y называется

3 непрерывным в точке x0 2 X, если

8 " > 0 9 (") > 0 8 x 2 X

X (x; x0) < (") ) Y (F x; F x0) < ";

3непрерывным на множестве M X, если оно непрерывно в каждой точке множества M;

3равномерно непрерывным на множестве M X; если

8 " > 0 9 (") > 0 8 x1; x2 2 M

X (x1; x2) < (") ) Y (F x1; F x2) < ":

Определение 5.2. Пусть X; – метрическое пространство. Отображение F : X ! X называется сжимающим, если

9 2 [0; 1) 8 x; y 2 X (F x; F y) 6 (x; y):

Определение 5.3. Пусть F : X ! X. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения F; если F x = x :

Теорема 5.1 (Банах). Пусть X; – полное метрическое пространство, F : X ! X – сжимающее отображение. Тогда существует единственная неподвижная точка отображения F .

Пример 5.1. Доказать, что отображение

F : C[ 1; 1] ! L1[ 1; 1];

действующее по правилу

51

Решение. Представим отображение F в виде F = G + H,

где

Докажем, что отображения G и H равномерно непрерывны на C[ 1; 1], тогда и отображение F будет равномерно непрерывным на C[ 1; 1]. Пусть x1; x2 2 C[ 1; 1]: Тогда

и отображение H также равномерно непрерывно на C[ 1; 1]: ,

52

Пример 5.2. Исследовать на равномерную непрерывность и непрерывность отображения

непрерывны на R; то порождаемые ими отображения F и G непрерывны в C[a; b], а равномерная непрерывность этих отображений на C[a; b] эквивалентна равномерной непрерывности

На каждом из этих множеств jf′(x)j 6 1. Следовательно, функция f равномерно непрерывна на ( ; 0] и на [0; +1): В силу непрерывности f на R; она равномерно непрерывна на R: Следовательно, отображение F равномерно непрерывно на C[a; b]:

б) Функция g(x) = x2 x+1 не является равномерно непре-

x0 2 C[a; b]; тогда для любой функции x 2 C[a; b] со свойствомx x0 6 1 имеем

j(Gx)(t) (Gx0)(t)j = j(x2(t) = jx(t)

6 jx(t)

и A – оператор сжатия, то и B – оператор сжатия. Следовательно, по теореме Банаха (см. теорему 5.1) операторное уравнение (5.1), а значит и исходная система уравнений, имеет единственное решение в пространстве ℓ2: ,

5.1.Является ли непрерывным на своей области определения отображение F x = x(1); если

5.2. Исследовать на непрерывность и равномерную непрерывность отображение (F x)(t) = x2(t) на области опре-

5.4.Пусть X, Y – метрические пространства, F : X ! Y . Докажите, что F не является равномерно непрерывным на X тогда и только тогда, когда найдутся последова-

тельности fx′ng; fx′′ng X такие, что X (x′n; x′′n) ! 0, а

Y (F x′n; F x′′n) ̸!0 при n ! 1.

5.5.Пусть отображение F : C[a; b] ! C[a; b] определено формулой (F x)(t) = f(x(t)), где f : R ! R. Доказать, что отображение F непрерывно (равномерно непрерывно) на C[a; b] тогда и только тогда, когда функция f непрерывна (равномерно непрерывна) на R.

5.6.Исследовать на равномерную непрерывность на C[0; 2]

отображение F : C[0; 2] ! C[0; 2]; если

√

a)(F x)(t) = 3 x(t);

б) (F x)(t) = x3(t);

55

в) (F x)(t) = arctg x(t); г) (F x)(t) = cos x2(t);

x2(t)

д) (F x)(t) = 1 + x4(t);

∫ 2

е) (F x)(t) = (t + s) ln(1 + 3x2(s)) ds:

0

Исследовать на равномерную непрерывность на C[0; 2]

e

отображения «а»–«е», если F : C[0; 2] ! L1[0; 2]:

5.7.Исследовать на непрерывность на области определения отображения

5.8.Будет ли отображение F : R ! R сжимающим на множестве M R, если F x = x3; метрика на R естествен-

на R. Доказать, что f – сжимающее отображение в пространстве R; j j тогда и только тогда, когда существует 2 [0; 1) такое, что jf′(x)j 6 для всех x 2 R:

56

∑1

a) jakjj2 < 1 при p = 2;

k;j=1

∑1

б) sup jakjj < 1 при p = 1;

k2N j=1

∑1

в) sup jakjj < 1 при p = 1:

j2N k=1

5.16.Бесконечная система линейных алгебраических уравне-

ний

∑1

k = akj j + k; k = 1; 2; : : : ;

j=1

имеет единственное решение x = f jg1j=1 2 ℓp для любого y = f kg1k=1 2 ℓp, если выполнено условие

∑1

a) jakjj2 < 1 при p = 2;

k;j=1

∑1

б) sup jakjj < 1 при p = 1;

k2N j=1

∑1

в) sup jakjj < 1 при p = 1:

j2N k=1

5.17.Пусть X; – полное метрическое пространство и отображение f : X ! X таково, что некоторая его степень g = fn является сжимающим отображением. Тогда уравнение fx = x имеет единственное решение.

5.18.Пусть A – интегральный оператор Вольтерра

∫ t

Ax(t) = K(t; s) x(s) ds;

a

ядро K(t; s) непрерывно на треугольнике

∆ = f(t; s): t 2 [a; b]; s 2 [a; t]g:

Тогда существует такое m 2 N; что Am является сжимающим отображением в пространстве C[a; b]:

58

5.19.Пусть ядро K(t; s) непрерывно на [a; b] [a; b] и

∫ b

jK(t; s)jds 6 d < 1; t 2 [a; b]:

a

Тогда интегральное уравнение Фредгольма

∫ b

a

имеет единственное решение x 2 C[a; b] для любой функции y 2 C[a; b].

5.20. Уравнение

имеет единственное непрерывное на [0; 3] решение x(t).

5.21.Являются ли отображения A: X ! X сжимающими,

∫ 1

г) (Ax)(t) = t2s2x(s) ds, X = C[0; 1]?

0

5.22.В пространстве C[0; 1] решить уравнение

∫ t

x(t) = x(s)ds + t2; ≠ 0:

0

5.23.Доказать, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет неподвижную точку.

59

5.24.Пусть B и C – отображения полного метрического пространства в себя, B и C коммутируют, B – сжимающее. Доказать, что уравнение Cx = x имеет решение.

60